Номер 4, страница 72 - гдз по физике 11 класс учебник Мякишев, Буховцев

Подумайте, почему изменяется резонансная частота при увеличении силы трения.

Вопрос о влиянии трения на резонансную частоту является классическим в теории колебаний. Утверждение, что резонансная частота изменяется с увеличением силы трения, верно. В общем случае, с увеличением трения (затухания) резонансная частота уменьшается. Чтобы понять почему, рассмотрим модель вынужденных колебаний с затуханием.

Резонанс – это явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний, которое наступает при приближении частоты вынуждающей силы к определённому значению, называемому резонансной частотой.

1. Система без трения (идеальный осциллятор). В отсутствие трения колебательная система (например, груз на пружине или маятник) имеет только одну собственную (натуральную) частоту колебаний, обозначаемую как $ \omega_0 $. В этом идеальном случае резонанс наступает, когда частота внешней вынуждающей силы $ \omega $ совпадает с собственной частотой системы: $ \omega_{рез} = \omega_0 $.

2. Система с трением (реальный осциллятор). В любой реальной системе всегда присутствует сила трения (или сила сопротивления среды), которая вызывает затухание колебаний. Такие колебания называются затухающими. Уравнение движения для вынужденных колебаний с затуханием имеет вид: $ m\frac{d^2x}{dt^2} + \gamma\frac{dx}{dt} + kx = F_0 \cos(\omega t) $ где $ x $ – смещение от положения равновесия, $ m $ – масса, $ k $ – коэффициент жесткости (например, пружины), $ \gamma $ – коэффициент, характеризующий силу трения (которая часто принимается пропорциональной скорости $ F_{тр} = -\gamma v $), $ F_0 $ и $ \omega $ – амплитуда и циклическая частота внешней силы.

Амплитуда установившихся вынужденных колебаний $ A $ зависит от частоты внешней силы $ \omega $ следующим образом: $ A(\omega) = \frac{F_0/m}{\sqrt{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + 4\beta^2\omega^2}} $ Здесь $ \omega_0 = \sqrt{k/m} $ – это собственная частота системы без затухания, а $ \beta = \gamma / (2m) $ – коэффициент затухания.

3. Нахождение резонансной частоты. Резонансная частота $ \omega_р $ – это та частота $ \omega $, при которой амплитуда $ A(\omega) $ достигает своего максимального значения. Чтобы найти этот максимум, нужно найти, при каком $ \omega $ знаменатель дроби будет минимален. Математически это соответствует нахождению экстремума подкоренного выражения в знаменателе. Анализ этого выражения показывает, что максимум амплитуды достигается при частоте: $ \omega_р^2 = \omega_0^2 - 2\beta^2 $ Отсюда резонансная циклическая частота равна: $ \omega_р = \sqrt{\omega_0^2 - 2\beta^2} $ (Это справедливо при условии, что затухание не слишком велико, т.е. $ \omega_0^2 > 2\beta^2 $).

4. Анализ результата. Из полученной формулы видно, что резонансная частота $ \omega_р $ зависит от коэффициента затухания $ \beta $. Коэффициент $ \beta = \gamma / (2m) $ прямо пропорционален коэффициенту $ \gamma $, который определяет силу трения. Следовательно, при увеличении силы трения увеличивается коэффициент затухания $ \beta $, что приводит к уменьшению значения $ \omega_р $. Резонансная частота смещается в сторону меньших частот.

Физическое объяснение. Сила трения всегда направлена против скорости и совершает отрицательную работу, отбирая энергию у системы. Внешняя сила, наоборот, "закачивает" энергию в систему. При резонансе достигается баланс, при котором поступление энергии от внешней силы наиболее эффективно компенсирует ее потери на трение, что и приводит к максимальной амплитуде. С увеличением трения возрастает роль силы, зависящей от скорости. Фазовый сдвиг между смещением и вынуждающей силой, который обеспечивает максимальную передачу энергии, изменяется. Для достижения максимальной амплитуды при большем трении системе требуется "отвечать" на воздействие с некоторым запозданием. Это "запоздание" эффективно достигается при приложении вынуждающей силы с несколько меньшей частотой по сравнению с собственной частотой $ \omega_0 $. Таким образом, пик резонансной кривой смещается влево (в сторону меньших частот), а также становится ниже и шире.

Ответ: При увеличении силы трения (затухания) в колебательной системе ее резонансная частота уменьшается. Это происходит потому, что резонансная частота $ \omega_р $ для системы с затуханием определяется не только её собственными параметрами (массой и жесткостью), но и величиной затухания. Математически это выражается формулой $ \omega_р = \sqrt{\omega_0^2 - 2\beta^2} $, где $ \omega_0 $ — собственная частота без трения, а $ \beta $ — коэффициент затухания, прямо пропорциональный силе трения. Из формулы следует, что с ростом $ \beta $ значение $ \omega_р $ уменьшается. Физически это связано с изменением фазовых соотношений в системе: чтобы наиболее эффективно передавать энергию колебательной системе при больших потерях на трение, частота внешней силы должна быть несколько ниже, чем собственная частота системы без трения.