Номер 5, страница 68 - гдз по физике 11 класс учебник Мякишев, Буховцев

5. На горизонтальном стержне находится груз, прикреплённый к пружине (см. рис. 3.1). Другой конец пружины закреплён. В некоторый момент времени груз смещают от положения равновесия на $x_m = 10 \text{ см}$ и отпускают. Определите координату груза спустя 1/8 периода колебаний. (Трение не учитывайте.)

Дано:

Амплитуда колебаний (максимальное смещение): $x_m = 10$ см
Время движения: $t = \frac{1}{8}T$, где $T$ - период колебаний
Начальная скорость: $v_0 = 0$ (груз отпускают из положения максимального смещения)

Найти:

$x$ — координату груза в момент времени $t$.

Решение:

Колебания груза на пружине без трения являются гармоническими. Уравнение, описывающее координату тела при гармонических колебаниях, в общем виде записывается как:

$x(t) = A \cos(\omega t + \phi_0)$

где $A$ — амплитуда колебаний, $\omega$ — циклическая частота, $t$ — время, $\phi_0$ — начальная фаза.

Из условия задачи следует, что в начальный момент времени ($t=0$) груз находится в положении максимального смещения, так как его смещают и отпускают без начальной скорости. Следовательно, амплитуда колебаний равна начальному смещению: $A = x_m = 10$ см.

Для определения начальной фазы $\phi_0$ подставим начальные условия ($t=0, x(0)=A$) в уравнение колебаний:

$x(0) = A \cos(\omega \cdot 0 + \phi_0) = A \cos(\phi_0)$

Так как $x(0) = A$, мы получаем равенство $A = A \cos(\phi_0)$, из которого следует, что $\cos(\phi_0) = 1$. Это означает, что начальная фаза $\phi_0 = 0$.

Таким образом, уравнение движения для данного груза упрощается до вида:

$x(t) = A \cos(\omega t)$

Циклическая частота $\omega$ связана с периодом колебаний $T$ соотношением $\omega = \frac{2\pi}{T}$. Подставим это выражение в наше уравнение:

$x(t) = A \cos\left(\frac{2\pi}{T} t\right)$

Теперь мы можем найти координату груза в заданный момент времени $t = \frac{T}{8}$:

$x\left(\frac{T}{8}\right) = A \cos\left(\frac{2\pi}{T} \cdot \frac{T}{8}\right) = A \cos\left(\frac{2\pi}{8}\right) = A \cos\left(\frac{\pi}{4}\right)$

Значение косинуса угла $\frac{\pi}{4}$ (или 45°) равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Подставим числовые значения амплитуды $A = 10$ см и значение косинуса:

$x = 10 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2}$ см.

Вычислим приближенное значение: $5\sqrt{2} \approx 5 \cdot 1.414 = 7.07$ см.

Ответ: координата груза спустя 1/8 периода колебаний будет равна $x = 5\sqrt{2} \text{ см} \approx 7.1 \text{ см}$.