Номер 3, страница 65 - гдз по физике 11 класс учебник Мякишев, Буховцев

3. Если на некоторой планете период колебаний секундного земного математического маятника окажется равным 2 с, то ускорение свободного падения на этой планете равно

1) 2,5 $ \text{м}/\text{с}^2 $

2) 5 $ \text{м}/\text{с}^2 $

3) 20 $ \text{м}/\text{с}^2 $

4) 40 $ \text{м}/\text{с}^2 $

Период колебаний маятника на некоторой планете $T_П = 2 \text{ с}$.

Маятник является «секундным земным». Стандартное определение секундного маятника — это маятник с периодом колебаний на Земле $T_З = 2 \text{ с}$. Приняв это значение, мы получаем, что ускорение свободного падения на планете равно земному ($g_П = g_З$), что не соответствует ни одному из предложенных вариантов ответа. Вероятно, в условии задачи допущена неточность. Наиболее логичным является предположение, что под «секундным земным маятником» подразумевается маятник с периодом колебаний на Земле $T_З = 1 \text{ с}$. Это предположение позволяет получить один из вариантов ответа.

Итак, принимаем: $T_З = 1 \text{ с}$.

Ускорение свободного падения на Земле: $g_З \approx 10 \text{ м/с}^2$ (стандартное приближение для школьных задач).

Все данные представлены в системе СИ.

Ускорение свободного падения на планете — $g_П$.

Формула периода колебаний математического маятника имеет вид:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$

где $l$ — это длина маятника, а $g$ — ускорение свободного падения.

Так как используется один и тот же маятник, его длина $l$ не изменяется при переносе с Земли на другую планету.

Запишем формулу для периода на Земле ($T_З$) и на планете ($T_П$):

$T_З = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g_З}}$

$T_П = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g_П}}$

Чтобы установить связь между величинами, разделим второе уравнение на первое:

$\frac{T_П}{T_З} = \frac{2\pi\sqrt{l/g_П}}{2\pi\sqrt{l/g_З}} = \sqrt{\frac{l}{g_П} \cdot \frac{g_З}{l}} = \sqrt{\frac{g_З}{g_П}}$

Чтобы избавиться от квадратного корня, возведем обе части равенства в квадрат:

$\left(\frac{T_П}{T_З}\right)^2 = \frac{g_З}{g_П}$

Из этого соотношения выразим искомое ускорение свободного падения на планете $g_П$:

$g_П = g_З \cdot \left(\frac{T_З}{T_П}\right)^2$

Теперь подставим числовые значения в полученную формулу:

$g_П = 10 \text{ м/с}^2 \cdot \left(\frac{1 \text{ с}}{2 \text{ с}}\right)^2 = 10 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 10 \cdot \frac{1}{4} = 2,5 \text{ м/с}^2$

Полученное значение $2,5 \text{ м/с}^2$ соответствует варианту ответа 1).

Ответ: $2,5 \text{ м/с}^2$.