Номер 2, страница 65 - гдз по физике 11 класс учебник Мякишев, Буховцев

2. Как связаны ускорение и координата при гармонических колебаниях?

1. Какие колебания называют гармоническими?

Решение

Гармоническими колебаниями называют такие периодические процессы, при которых физическая величина (например, координата, скорость, сила тока, напряжение) изменяется со временем по закону синуса или косинуса.

Математически это описывается уравнением:
$x(t) = A \cdot \cos(\omega t + \varphi_0)$
или
$x(t) = A \cdot \sin(\omega t + \varphi_0)$
где:

• $x(t)$ — смещение (координата) колеблющейся точки от положения равновесия в момент времени $t$;
• $A$ — амплитуда колебаний, то есть максимальное смещение от положения равновесия;
• $\omega$ — циклическая (или угловая) частота колебаний, связанная с периодом $T$ и частотой $\nu$ соотношениями $\omega = 2\pi / T = 2\pi\nu$;
• $(\omega t + \varphi_0)$ — фаза колебаний в момент времени $t$;
• $\varphi_0$ — начальная фаза колебаний (в момент $t=0$).

Важнейшей особенностью гармонических колебаний является то, что они возникают под действием возвращающей силы, которая прямо пропорциональна смещению тела из положения равновесия и направлена в сторону, противоположную смещению. Для механических систем это описывается законом Гука: $F = -kx$.

Исходя из второго закона Ньютона ($F = ma = m \cdot x''$), получаем дифференциальное уравнение гармонических колебаний:
$x'' + \omega^2 x = 0$, где $\omega^2 = k/m$.
Любая система, движение которой описывается таким уравнением, совершает гармонические колебания.

Ответ: Гармоническими называют колебания, при которых физическая величина изменяется с течением времени по закону синуса или косинуса.

2. Как связаны ускорение и координата при гармонических колебаниях?

Решение

Чтобы найти связь между ускорением и координатой при гармонических колебаниях, начнем с уравнения для координаты (смещения) тела:
$x(t) = A \cdot \cos(\omega t + \varphi_0)$

Скорость $v(t)$ является первой производной от координаты по времени:
$v(t) = x'(t) = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(A \cos(\omega t + \varphi_0)) = -A\omega \sin(\omega t + \varphi_0)$

Ускорение $a(t)$ является второй производной от координаты по времени (или первой производной от скорости):
$a(t) = v'(t) = x''(t) = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(-A\omega \sin(\omega t + \varphi_0)) = -A\omega^2 \cos(\omega t + \varphi_0)$

Теперь сравним полученное выражение для ускорения $a(t)$ с исходным выражением для координаты $x(t)$:
$a(t) = -A\omega^2 \cos(\omega t + \varphi_0)$
$x(t) = A \cos(\omega t + \varphi_0)$

Видно, что выражение $A \cos(\omega t + \varphi_0)$ в формуле для ускорения является координатой $x(t)$. Подставив $x(t)$ в уравнение для $a(t)$, получаем искомую связь:
$a(t) = -\omega^2 \cdot x(t)$

Из этой формулы следует, что:

1. Ускорение при гармонических колебаниях прямо пропорционально координате (смещению от положения равновесия).
2. Знак "минус" указывает на то, что вектор ускорения всегда направлен в сторону, противоположную вектору смещения, то есть к положению равновесия.

Ответ: При гармонических колебаниях ускорение $a$ прямо пропорционально координате $x$ и направлено в противоположную сторону: $a = -\omega^2 x$, где $\omega$ — циклическая частота колебаний.