Страница 65 - гдз по физике 11 класс учебник Мякишев, Буховцев

1. Какие колебания называют гармоническими?

1. Какие колебания называют гармоническими?

Гармоническими колебаниями называют периодические изменения физической величины, которые происходят с течением времени по закону синуса или косинуса. Они являются простейшим видом колебательных процессов и играют фундаментальную роль в физике, так как любое сложное периодическое движение может быть представлено в виде суммы гармонических колебаний.

Уравнение гармонических колебаний имеет вид:

$x(t) = A \cos(\omega t + \phi_0)$

или эквивалентно:

$x(t) = A \sin(\omega t + \phi_0')$

где:

$x(t)$ — смещение (или значение колеблющейся величины) от положения равновесия в момент времени $t$;
$A$ — амплитуда, это максимальное значение смещения от положения равновесия ($A>0$);
$\omega$ — циклическая (круговая) частота, показывает, сколько полных колебаний совершается за $2\pi$ секунд. Связана с периодом $T$ и линейной частотой $\nu$ как $\omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi\nu$;
$(\omega t + \phi_0)$ — фаза колебаний, определяет состояние колебательной системы (смещение и направление движения) в любой момент времени $t$;
$\phi_0$ — начальная фаза, определяет фазу колебаний (и, следовательно, смещение $x$) в начальный момент времени $t=0$.

Гармонические колебания возникают в системе, когда на тело (или систему) действует возвращающая сила, прямо пропорциональная смещению от положения равновесия и направленная в противоположную сторону. Для механической системы это выражается законом Гука $F_x = -kx$. Дифференциальное уравнение, описывающее свободные незатухающие гармонические колебания, выглядит так:

$\frac{d^2x}{dt^2} + \omega^2 x = 0$

где $\omega^2 = k/m$ для пружинного маятника.

Ответ: Гармоническими колебаниями называют колебания, при которых физическая величина (например, координата, скорость, сила тока) изменяется со временем по закону синуса или косинуса. Уравнение таких колебаний имеет вид $x(t) = A \cos(\omega t + \phi_0)$.

2. Как связаны ускорение и координата при гармонических колебаниях?

1. Какие колебания называют гармоническими?

Решение

Гармоническими колебаниями называют такие периодические процессы, при которых физическая величина (например, координата, скорость, сила тока, напряжение) изменяется со временем по закону синуса или косинуса.

Математически это описывается уравнением:
$x(t) = A \cdot \cos(\omega t + \varphi_0)$
или
$x(t) = A \cdot \sin(\omega t + \varphi_0)$
где:

• $x(t)$ — смещение (координата) колеблющейся точки от положения равновесия в момент времени $t$;
• $A$ — амплитуда колебаний, то есть максимальное смещение от положения равновесия;
• $\omega$ — циклическая (или угловая) частота колебаний, связанная с периодом $T$ и частотой $\nu$ соотношениями $\omega = 2\pi / T = 2\pi\nu$;
• $(\omega t + \varphi_0)$ — фаза колебаний в момент времени $t$;
• $\varphi_0$ — начальная фаза колебаний (в момент $t=0$).

Важнейшей особенностью гармонических колебаний является то, что они возникают под действием возвращающей силы, которая прямо пропорциональна смещению тела из положения равновесия и направлена в сторону, противоположную смещению. Для механических систем это описывается законом Гука: $F = -kx$.

Исходя из второго закона Ньютона ($F = ma = m \cdot x''$), получаем дифференциальное уравнение гармонических колебаний:
$x'' + \omega^2 x = 0$, где $\omega^2 = k/m$.
Любая система, движение которой описывается таким уравнением, совершает гармонические колебания.

Ответ: Гармоническими называют колебания, при которых физическая величина изменяется с течением времени по закону синуса или косинуса.

2. Как связаны ускорение и координата при гармонических колебаниях?

Решение

Чтобы найти связь между ускорением и координатой при гармонических колебаниях, начнем с уравнения для координаты (смещения) тела:
$x(t) = A \cdot \cos(\omega t + \varphi_0)$

Скорость $v(t)$ является первой производной от координаты по времени:
$v(t) = x'(t) = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(A \cos(\omega t + \varphi_0)) = -A\omega \sin(\omega t + \varphi_0)$

Ускорение $a(t)$ является второй производной от координаты по времени (или первой производной от скорости):
$a(t) = v'(t) = x''(t) = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(-A\omega \sin(\omega t + \varphi_0)) = -A\omega^2 \cos(\omega t + \varphi_0)$

Теперь сравним полученное выражение для ускорения $a(t)$ с исходным выражением для координаты $x(t)$:
$a(t) = -A\omega^2 \cos(\omega t + \varphi_0)$
$x(t) = A \cos(\omega t + \varphi_0)$

Видно, что выражение $A \cos(\omega t + \varphi_0)$ в формуле для ускорения является координатой $x(t)$. Подставив $x(t)$ в уравнение для $a(t)$, получаем искомую связь:
$a(t) = -\omega^2 \cdot x(t)$

Из этой формулы следует, что:

1. Ускорение при гармонических колебаниях прямо пропорционально координате (смещению от положения равновесия).
2. Знак "минус" указывает на то, что вектор ускорения всегда направлен в сторону, противоположную вектору смещения, то есть к положению равновесия.

Ответ: При гармонических колебаниях ускорение $a$ прямо пропорционально координате $x$ и направлено в противоположную сторону: $a = -\omega^2 x$, где $\omega$ — циклическая частота колебаний.

3. Как связаны циклическая частота и период колебаний?

Циклическая (или угловая) частота и период колебаний — это две фундаментальные характеристики колебательного процесса, которые связаны между собой обратной пропорциональностью.

Период колебаний ($T$) — это минимальный промежуток времени, через который система, совершающая колебания, возвращается в то же состояние (проходит то же положение в том же направлении). Иными словами, это время одного полного колебания. Единица измерения в СИ — секунда (с).

Циклическая частота ($\omega$) показывает, на какую величину изменяется фаза колебаний за единицу времени. Она связана с количеством полных колебаний, совершаемых за $2\pi$ секунд. Единица измерения в СИ — радиан в секунду (рад/с).

Связь между этими величинами устанавливается следующим образом. За время одного полного колебания, равное периоду $T$, фаза колебаний изменяется на $2\pi$ радиан. Следовательно, скорость изменения фазы, то есть циклическая частота, равна отношению изменения фазы ко времени, за которое это изменение произошло:

$\omega = \frac{2\pi}{T}$

Из этой формулы видно, что циклическая частота обратно пропорциональна периоду колебаний. Чем больше период (т.е. чем медленнее происходят колебания), тем меньше циклическая частота, и наоборот.

Также можно выразить период через циклическую частоту:

$T = \frac{2\pi}{\omega}$

Поскольку обычная частота колебаний $\nu$ (измеряемая в герцах, Гц) связана с периодом соотношением $\nu = 1/T$, то связь между циклической и обычной частотой выражается формулой:

$\omega = 2\pi\nu$

Ответ: Циклическая частота $\omega$ и период колебаний $T$ связаны формулой $\omega = \frac{2\pi}{T}$, то есть они обратно пропорциональны.

4. Почему частота колебаний тела, прикреплённого к пружине, зависит от его массы, а частота колебаний математического маятника от массы не зависит?

Решение

Различие в зависимости частоты колебаний от массы для пружинного и математического маятников объясняется природой возвращающей силы и инертностью колеблющегося тела в каждой из этих систем.

1. Тело, прикрепленное к пружине (пружинный маятник)

В пружинном маятнике возвращающая сила — это сила упругости пружины. Согласно закону Гука, она зависит от жесткости пружины $k$ и смещения тела $x$ от положения равновесия: $F_{упр} = -kx$. Важно отметить, что эта сила не зависит от массы $m$ колеблющегося тела.

С другой стороны, согласно второму закону Ньютона ($F=ma$), ускорение, которое эта сила сообщает телу, обратно пропорционально его массе: $a = \frac{F_{упр}}{m} = -\frac{kx}{m}$. Это означает, что чем больше масса тела (т.е. чем больше его инертность), тем меньшее ускорение оно получает при действии той же возвращающей силы. В результате тело с большей массой колеблется медленнее, то есть с меньшей частотой.

Формула для частоты колебаний пружинного маятника прямо подтверждает этот вывод: $ \nu = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}} $

Из формулы видно, что частота $\nu$ обратно пропорциональна квадратному корню из массы $m$.

Ответ: Частота колебаний тела на пружине зависит от его массы, потому что возвращающая сила упругости не зависит от массы, в то время как инертность тела, определяющая его ускорение, прямо пропорциональна массе.

2. Математический маятник

В математическом маятнике возвращающей силой является тангенциальная (касательная) составляющая силы тяжести: $F_{возвр} = -mg \sin\alpha$, где $m$ — масса тела, $g$ — ускорение свободного падения, а $\alpha$ — угол отклонения от вертикали. В этом случае возвращающая сила прямо пропорциональна массе тела.

Запишем второй закон Ньютона для маятника: $ma = F_{возвр}$. Подставив выражение для возвращающей силы, получим: $ma = -mg \sin\alpha$.

Как видно из уравнения, масса $m$ (слева — инертная, справа — гравитационная) находится в обеих частях и может быть сокращена. В результате ускорение тела $a = -g \sin\alpha$ оказывается не зависящим от массы. Это происходит потому, что увеличение возвращающей силы для более массивного тела в точности компенсируется увеличением его инертности.

Формула для частоты колебаний математического маятника (при малых углах отклонения) выглядит так: $ \nu = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{l}} $

В этой формуле масса $m$ отсутствует. Частота зависит только от длины нити $l$ и ускорения свободного падения $g$.

Ответ: Частота колебаний математического маятника не зависит от массы, потому что и возвращающая сила (сила тяжести), и инертность тела прямо пропорциональны массе. В результате этого масса сокращается в уравнении движения, и ускорение тела от нее не зависит.

1. Груз массой 0,16 кг, подвешенный на лёгкой пружине, совершает свободные гармонические колебания. Определите массу груза, который надо подвесить к той же пружине, чтобы частота колебаний уменьшилась в 2 раза.

1) 0,04 кг

2) 0,08 кг

3) 0,32 кг

4) 0,64 кг

Дано:
Масса первого груза, $m_1 = 0,16$ кг.
Отношение начальной частоты к конечной, $\frac{\nu_1}{\nu_2} = 2$.
Пружина одна и та же, значит ее жесткость $k$ постоянна.

Найти:
Массу второго груза $m_2$.

Решение:
Частота свободных гармонических колебаний пружинного маятника (груза на пружине) определяется по формуле:
$\nu = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}$
где $k$ — жесткость пружины, а $m$ — масса груза.

Запишем эту формулу для двух состояний системы:

2. Маятниковые часы спешат. Чтобы часы шли точно, необходимо увеличить период колебаний маятника. Для этого надо

1) увеличить массу маятника

2) уменьшить массу маятника

3) увеличить длину маятника

4) уменьшить длину маятника

Решение

Если маятниковые часы спешат, это означает, что их маятник совершает одно полное колебание за время, которое меньше необходимого. Другими словами, период колебаний маятника ($T$) слишком мал. Чтобы часы шли точно, их ход нужно замедлить, то есть увеличить период колебаний маятника, как и указано в условии задачи.

Период колебаний математического маятника определяется формулой:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$

где $l$ — длина подвеса маятника, а $g$ — ускорение свободного падения.

Проанализируем, как каждый из предложенных вариантов повлияет на период $T$.

1) увеличить массу маятника и 2) уменьшить массу маятника

Как видно из приведенной формулы, период колебаний маятника не зависит от его массы ($m$). Следовательно, изменение массы не окажет влияния на ход часов. Эти варианты неверны.

3) увеличить длину маятника и 4) уменьшить длину маятника

Формула показывает, что период колебаний $T$ находится в прямой зависимости от корня квадратного из длины маятника $l$ ($T \sim \sqrt{l}$). Это означает, что для увеличения периода $T$ необходимо увеличить длину маятника $l$. Если же уменьшить длину маятника, его период колебаний также уменьшится, и часы начнут спешить еще больше. Таким образом, чтобы замедлить спешащие часы, нужно увеличить длину маятника.

Ответ: 3) увеличить длину маятника.

3. Если на некоторой планете период колебаний секундного земного математического маятника окажется равным 2 с, то ускорение свободного падения на этой планете равно

1) 2,5 $ \text{м}/\text{с}^2 $

2) 5 $ \text{м}/\text{с}^2 $

3) 20 $ \text{м}/\text{с}^2 $

4) 40 $ \text{м}/\text{с}^2 $

Период колебаний маятника на некоторой планете $T_П = 2 \text{ с}$.

Маятник является «секундным земным». Стандартное определение секундного маятника — это маятник с периодом колебаний на Земле $T_З = 2 \text{ с}$. Приняв это значение, мы получаем, что ускорение свободного падения на планете равно земному ($g_П = g_З$), что не соответствует ни одному из предложенных вариантов ответа. Вероятно, в условии задачи допущена неточность. Наиболее логичным является предположение, что под «секундным земным маятником» подразумевается маятник с периодом колебаний на Земле $T_З = 1 \text{ с}$. Это предположение позволяет получить один из вариантов ответа.

Итак, принимаем: $T_З = 1 \text{ с}$.

Ускорение свободного падения на Земле: $g_З \approx 10 \text{ м/с}^2$ (стандартное приближение для школьных задач).

Все данные представлены в системе СИ.

Ускорение свободного падения на планете — $g_П$.

Формула периода колебаний математического маятника имеет вид:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$

где $l$ — это длина маятника, а $g$ — ускорение свободного падения.

Так как используется один и тот же маятник, его длина $l$ не изменяется при переносе с Земли на другую планету.

Запишем формулу для периода на Земле ($T_З$) и на планете ($T_П$):

$T_З = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g_З}}$

$T_П = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g_П}}$

Чтобы установить связь между величинами, разделим второе уравнение на первое:

$\frac{T_П}{T_З} = \frac{2\pi\sqrt{l/g_П}}{2\pi\sqrt{l/g_З}} = \sqrt{\frac{l}{g_П} \cdot \frac{g_З}{l}} = \sqrt{\frac{g_З}{g_П}}$

Чтобы избавиться от квадратного корня, возведем обе части равенства в квадрат:

$\left(\frac{T_П}{T_З}\right)^2 = \frac{g_З}{g_П}$

Из этого соотношения выразим искомое ускорение свободного падения на планете $g_П$:

$g_П = g_З \cdot \left(\frac{T_З}{T_П}\right)^2$

Теперь подставим числовые значения в полученную формулу:

$g_П = 10 \text{ м/с}^2 \cdot \left(\frac{1 \text{ с}}{2 \text{ с}}\right)^2 = 10 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 10 \cdot \frac{1}{4} = 2,5 \text{ м/с}^2$

Полученное значение $2,5 \text{ м/с}^2$ соответствует варианту ответа 1).

Ответ: $2,5 \text{ м/с}^2$.