Страница 64 - гдз по физике 11 класс учебник Мякишев, Буховцев

Обсудите с одноклассниками, как будут выглядеть графики на рисунке 3.5, если сдвиг фаз будет равен $\pi$ или $3\pi/2$.

Для анализа того, как будут выглядеть графики, предположим, что на рисунке 3.5 изображены два гармонических колебания с одинаковой амплитудой $A$ и одинаковой циклической частотой $\omega$. Одно из колебаний (будем считать его опорным) можно описать уравнением $x_1(t) = A \cos(\omega t)$. Тогда второе колебание, сдвинутое по фазе относительно первого, будет описываться уравнением $x_2(t) = A \cos(\omega t + \Delta\phi)$, где $\Delta\phi$ — сдвиг фаз.

Если сдвиг фаз $\Delta\phi = \pi$, то уравнение второго колебания принимает вид: $x_2(t) = A \cos(\omega t + \pi)$. Используя тригонометрическую формулу приведения $\cos(\alpha + \pi) = -\cos(\alpha)$, получаем: $x_2(t) = -A \cos(\omega t) = -x_1(t)$. Это означает, что колебания происходят в противофазе.

На графике это будет выглядеть следующим образом:

• График второго колебания является зеркальным отражением графика первого колебания относительно оси времени (оси абсцисс).
• В любой момент времени смещения тел от положения равновесия равны по величине, но противоположны по знаку.
• Когда первое тело достигает максимального отклонения ($+A$), второе в этот же момент находится в точке максимального отклонения в противоположную сторону ($-A$).
• Оба тела одновременно проходят через положение равновесия ($x=0$), двигаясь в противоположных направлениях.

Ответ: При сдвиге фаз, равном $\pi$, колебания происходят в противофазе. График второго колебания является зеркальной копией первого относительно горизонтальной оси.

Если сдвиг фаз $\Delta\phi = 3\pi/2$, то уравнение второго колебания записывается как: $x_2(t) = A \cos(\omega t + 3\pi/2)$. Используя тригонометрическую формулу приведения $\cos(\alpha + 3\pi/2) = \sin(\alpha)$, получаем: $x_2(t) = A \sin(\omega t)$.

Это означает, что если первое колебание описывается функцией косинуса, то второе будет описываться функцией синуса. Сдвиг фаз на $3\pi/2$ равносилен отставанию по фазе на $\pi/2$ (так как $3\pi/2 = 2\pi - \pi/2$). Временной сдвиг при этом составляет четверть периода $T/4$, то есть второе колебание отстает от первого на $T/4$.

На графике это будет выглядеть так:

• Когда первое колебание (косинус) достигает максимума (при $t=0$), второе колебание (синус) проходит через положение равновесия, двигаясь в положительном направлении.
• Когда первое колебание проходит через положение равновесия (при $t=T/4$), второе достигает своего максимума.
• График второго колебания (синусоида) сдвинут вправо относительно графика первого (косинусоиды) на четверть периода.

Ответ: При сдвиге фаз, равном $3\pi/2$, если первое колебание — косинусоида, то второе будет синусоидой. График второго колебания отстает от первого на четверть периода.

Запишите формулу (3.22) в случаях колебаний пружинного и математического маятников с учётом выражений для потенциальной энергии.

В задаче требуется применить общую формулу к двум частным случаям. Будем исходить из того, что формула (3.22), упомянутая в задаче, — это закон сохранения полной механической энергии для колебательной системы. В общем виде он гласит, что сумма кинетической и потенциальной энергий в замкнутой консервативной системе постоянна:

$E = E_k + E_p = \text{const}$

Здесь $E_k = \frac{mv^2}{2}$ — кинетическая энергия тела массой $m$, движущегося со скоростью $v$, а $E_p$ — его потенциальная энергия, вид которой зависит от природы действующих сил.

Пружинный маятник

Для пружинного маятника (тело массой $m$ на пружине жесткостью $k$) потенциальная энергия — это энергия упругой деформации пружины. Она зависит от смещения тела $x$ от положения равновесия и вычисляется по формуле:

$E_p = \frac{kx^2}{2}$

Подставляя это выражение для потенциальной энергии в общий закон сохранения энергии, получаем формулу (3.22) для случая колебаний пружинного маятника:

$\frac{mv^2}{2} + \frac{kx^2}{2} = \text{const}$

Значение этой постоянной равно полной энергии маятника. Например, в крайних точках траектории, где смещение максимально ($x = A$, где $A$ — амплитуда), а скорость равна нулю ($v=0$), полная энергия равна максимальной потенциальной энергии $E = \frac{kA^2}{2}$.

Ответ: для пружинного маятника формула (3.22) с учетом выражения для потенциальной энергии имеет вид: $\frac{mv^2}{2} + \frac{kx^2}{2} = \text{const}$.

Математический маятник

Для математического маятника (материальная точка массой $m$ на невесомой нерастяжимой нити длиной $l$) потенциальная энергия обусловлена силой тяжести. Она зависит от высоты $h$, на которую тело поднято относительно положения равновесия (самой нижней точки траектории). Формула для потенциальной энергии:

$E_p = mgh$

где $g$ — ускорение свободного падения. Высоту $h$ можно выразить через длину нити $l$ и угол отклонения маятника от вертикали $\alpha$: $h = l(1 - \cos\alpha)$.

Подставляя выражение для потенциальной энергии в закон сохранения энергии, получаем формулу (3.22) для случая колебаний математического маятника:

$\frac{mv^2}{2} + mgh = \text{const}$

Эта формула выражает, что в любой точке траектории сумма кинетической энергии и гравитационной потенциальной энергии остается неизменной. В крайних точках, где высота максимальна ($h = h_{max}$), а скорость равна нулю ($v=0$), полная энергия равна $E = mgh_{max}$.

Ответ: для математического маятника формула (3.22) с учетом выражения для потенциальной энергии имеет вид: $\frac{mv^2}{2} + mgh = \text{const}$.