Номер 3, страница 70 - гдз по физике 11 класс учебник Мякишев, Буховцев

Почему постоянная сила не может поддерживать колебания?

Постоянная сила не может поддерживать колебания, потому что для поддержания (или возбуждения) колебаний необходимо, чтобы внешняя сила совершала положительную работу над колебательной системой в течение одного периода, тем самым компенсируя потери энергии (например, из-за трения). Рассмотрим это подробнее.

1. Природа колебаний
Колебания – это периодическое движение тела около положения равновесия. Это движение определяется наличием возвращающей силы. Возвращающая сила всегда направлена к положению равновесия и зависит от смещения тела от этого положения (например, для пружинного маятника $F_{упр} = -kx$). Она изменяет и свое значение, и направление в процессе движения.

2. Действие постоянной силы
Постоянная сила ($F_{const}$) – это сила, которая не изменяется ни по величине, ни по направлению. Если приложить такую силу к колебательной системе (например, подвесить дополнительный груз к пружинному маятнику), она не вызовет незатухающих колебаний, а лишь сместит положение равновесия. Система будет совершать колебания вокруг нового положения равновесия, и эти колебания со временем затухнут, если не будет другого источника энергии.

3. Работа силы и энергия системы
Чтобы поддерживать колебания в реальной системе, где всегда есть силы сопротивления (трение, сопротивление воздуха), необходимо постоянно восполнять потери механической энергии. Энергия передается системе, когда внешняя сила совершает положительную работу. Работа $A$, совершаемая силой $F$ за один период колебаний $T$, равна интегралу от мощности $P$ по времени: $A = \int_{0}^{T} P(t) dt = \int_{0}^{T} \vec{F} \cdot \vec{v}(t) dt$ где $\vec{v}(t)$ – скорость тела. Для поддержания колебаний необходимо, чтобы работа за период была положительной: $A > 0$.

Рассмотрим работу постоянной силы $\vec{F}_{const}$ за один полный период колебаний. В течение одной половины периода тело движется в направлении, совпадающем с направлением силы, и сила совершает положительную работу, увеличивая энергию системы. В течение другой половины периода тело движется в противоположном направлении, и та же самая постоянная сила совершает отрицательную работу, забирая у системы ровно столько же энергии. В результате, полная работа постоянной силы за один период колебаний равна нулю. Математически это можно показать так: $A_{полн} = \int_{0}^{T} \vec{F}_{const} \cdot \vec{v}(t) dt = \vec{F}_{const} \cdot \int_{0}^{T} \vec{v}(t) dt = \vec{F}_{const} \cdot \Delta\vec{r}$ Поскольку за один период колебаний тело возвращается в исходную точку, его полное перемещение $\Delta\vec{r}$ равно нулю. Следовательно, и работа постоянной силы за период равна нулю: $A_{полн} = 0$.

4. Условие поддержания колебаний
Для того чтобы колебания не затухали, необходима периодическая вынуждающая сила, которая будет действовать согласованно с движением системы. Такая сила будет подталкивать тело преимущественно в направлении его движения, совершая в сумме за период положительную работу и передавая ему энергию. Наиболее эффективно энергия передается, когда частота вынуждающей силы совпадает с собственной частотой колебаний системы (явление резонанса). Постоянная же сила не обладает необходимой периодичностью и не может "подстраиваться" под движение.

Ответ: Постоянная сила не может поддерживать колебания, так как работа, совершаемая ею за один полный период колебаний, равна нулю. Она сообщает энергию системе в течение одной половины периода и отбирает ровно столько же энергии в течение другой. Таким образом, постоянная сила не способна компенсировать потери энергии, вызванные силами трения, и поддерживать незатухающие колебания. Для этого требуется периодически изменяющаяся сила.