Номер 1, страница 73 - гдз по физике 11 класс учебник Мякишев, Буховцев

1. Два маятника представляют собой шарики одинакового радиуса, подвешенные на нитях равной длины. Массы шариков различны. Колебания какого из маятников прекратятся быстрее: лёгкого или тяжёлого?

1. Решение

Рассмотрим два маятника, описанных в условии. Они представляют собой шарики одинакового радиуса $R$, подвешенные на нитях одинаковой длины $L$. Массы шариков различны: пусть масса лёгкого шарика будет $m_л$, а масса тяжёлого — $m_т$, где $m_т > m_л$.

Период колебаний математического маятника в идеальных условиях (в вакууме, без трения) определяется формулой: $T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$ Эта формула показывает, что период колебаний зависит только от длины подвеса $L$ и ускорения свободного падения $g$, но не зависит от массы маятника. Таким образом, если бы не было сил сопротивления, оба маятника колебались бы с одинаковой частотой.

Однако в реальных условиях на колеблющиеся шарики действует сила сопротивления воздуха. Именно эта сила является причиной затухания колебаний и их последующей остановки. Величина силы сопротивления воздуха зависит от формы, размеров (площади поперечного сечения) и скорости движущегося тела.

Поскольку оба шарика имеют одинаковый радиус, их форма и размеры одинаковы. Если маятники начать колебать с одинаковой начальной амплитудой, то их скорости в любой момент времени также будут одинаковыми. Следовательно, на оба шарика будет действовать одинаковая по величине сила сопротивления воздуха $F_{сопр}$.

Теперь оценим влияние этой тормозящей силы на каждый из маятников. Согласно второму закону Ньютона, ускорение (в данном случае — замедление), которое сообщает телу сила, обратно пропорционально массе тела: $a = \frac{F}{m}$.

Для лёгкого шарика замедление, вызванное силой сопротивления, будет: $a_л = \frac{F_{сопр}}{m_л}$

Для тяжёлого шарика: $a_т = \frac{F_{сопр}}{m_т}$

Так как масса тяжёлого шарика больше ($m_т > m_л$), а сила сопротивления $F_{сопр}$ одинакова, то замедление лёгкого шарика будет больше, чем замедление тяжёлого: $a_л > a_т$. Это означает, что лёгкий шарик будет быстрее терять свою скорость, и амплитуда его колебаний будет уменьшаться быстрее. Тяжёлый маятник, обладая большей инертностью, будет "дольше сопротивляться" тормозящему действию воздуха.

Этот же вывод можно сделать, рассмотрев энергию системы. При одинаковом начальном отклонении начальная механическая энергия тяжёлого маятника ($E_т = m_тgh$) больше, чем у лёгкого ($E_л = m_лgh$). Работа силы сопротивления, отнимающая энергию у системы, за каждый цикл колебаний будет примерно одинаковой для обоих маятников. Следовательно, маятник с меньшим начальным запасом энергии (лёгкий) остановится быстрее.

Ответ: Колебания лёгкого маятника прекратятся быстрее.