Задание 7, страница 17 - гдз по физике 11 класс учебник Закирова, Аширов

Задание 7

1. Изобразите график зависимости $y = A \sin(4\pi\nu t)$ на основе данных графика (рис. 18 а).

2. Сложите полученный график с исходным графиком, сравните полученный результат с графиком, изображенным на рисунке 18 б.

Рис. 18. Сложение колебаний

1. Изобразите график зависимости $y = A \sin(4\pi\nu t)$ на основе данных графика (рис. 18 а).

Дано:

График колебания $y_1 = A \sin(2\pi\nu t)$ (рис. 18 а).

Найти:

Построить график колебания $y_2 = A \sin(4\pi\nu t)$.

Решение:

1. Проанализируем исходный график $y_1 = A \sin(2\pi\nu t)$ на рисунке 18 а.
- Амплитуда колебаний $\text{A}$ — это максимальное отклонение от положения равновесия. Из графика видно, что максимальное значение $\text{Y}$ равно 1. Следовательно, $A=1$.
- Период колебаний $T_1$ — это время одного полного колебания. Из графика видно, что один полный цикл завершается за $0,08$ с. Следовательно, $T_1 = 0,08$ с.
- Угловая частота первого колебания $\omega_1$ связана с периодом формулой $\omega_1 = \frac{2\pi}{T_1}$. Также из уравнения колебания имеем $\omega_1 = 2\pi\nu$.
2. Теперь рассмотрим колебание, график которого нужно построить: $y_2 = A \sin(4\pi\nu t)$.
- Амплитуда этого колебания та же самая, $A=1$.
- Угловая частота второго колебания равна $\omega_2 = 4\pi\nu$.
- Сравним угловые частоты: $\omega_2 = 4\pi\nu = 2 \cdot (2\pi\nu) = 2\omega_1$. Таким образом, частота второго колебания в 2 раза больше частоты первого.
- Период второго колебания $T_2$ связан с его угловой частотой как $T_2 = \frac{2\pi}{\omega_2}$. Подставим $\omega_2 = 2\omega_1$: $T_2 = \frac{2\pi}{2\omega_1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2\pi}{\omega_1} = \frac{T_1}{2}$.
- Вычислим период второго колебания: $T_2 = \frac{0,08 \text{ с}}{2} = 0,04$ с.
3. Для построения графика $y_2 = \sin(4\pi\nu t)$ нужно изобразить синусоиду с амплитудой $A=1$ и периодом $T_2 = 0,04$ с. Это означает, что на временном отрезке от 0 до 0,08 с данное колебание совершит два полных цикла.
Ключевые точки графика $y_2$:
- При $t=0$, $y_2=0$.
- Максимум $y_2=1$ при $t = T_2/4 = 0,01$ с.
- Пересечение оси $\text{t}$ ($y_2=0$) при $t=T_2/2 = 0,02$ с.
- Минимум $y_2=-1$ при $t=3T_2/4 = 0,03$ с.
- Конец первого периода при $t=T_2=0,04$ с.
- Второй цикл аналогично проходит на интервале от 0,04 с до 0,08 с.

Ответ: График зависимости $y = A \sin(4\pi\nu t)$ представляет собой синусоиду с амплитудой $A=1$ и периодом $T_2=0,04$ с. Это колебание в два раза чаще, чем колебание, показанное на рисунке 18 а.

2. Сложите полученный график с исходным графиком, сравните полученный результат с графиком, изображенным на рисунке 18 б.

Решение:

Сложение двух колебаний $y_1 = A \sin(2\pi\nu t)$ и $y_2 = A \sin(4\pi\nu t)$ производится путем сложения их ординат (значений $\text{y}$) в каждый момент времени $\text{t}$. Результирующее колебание будет описываться функцией $Y(t) = y_1(t) + y_2(t)$.
Для анализа и сравнения найдем значения результирующего смещения в нескольких ключевых точках, используя $A=1$, $T_1=0,08$ с и $T_2=0,04$ с.

- При $t=0$: $y_1=0$, $y_2=0 \implies Y = 0+0 = 0$.
- При $t=0,01$ с: $y_1 = \sin(\frac{2\pi}{0,08} \cdot 0,01) = \sin(\frac{\pi}{4}) \approx 0,71$. $y_2 = \sin(\frac{2\pi}{0,04} \cdot 0,01) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$. $Y \approx 0,71 + 1 = 1,71$.
- При $t=0,02$ с: $y_1 = \sin(\frac{2\pi}{0,08} \cdot 0,02) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$. $y_2 = \sin(\frac{2\pi}{0,04} \cdot 0,02) = \sin(\pi) = 0$. $Y = 1+0 = 1$.
- При $t=0,03$ с: $y_1 = \sin(\frac{2\pi}{0,08} \cdot 0,03) = \sin(\frac{3\pi}{4}) \approx 0,71$. $y_2 = \sin(\frac{2\pi}{0,04} \cdot 0,03) = \sin(\frac{3\pi}{2}) = -1$. $Y \approx 0,71 - 1 = -0,29$.
- При $t=0,04$ с: $y_1 = \sin(\frac{2\pi}{0,08} \cdot 0,04) = \sin(\pi) = 0$. $y_2 = \sin(\frac{2\pi}{0,04} \cdot 0,04) = \sin(2\pi) = 0$. $Y = 0+0 = 0$.
- При $t=0,05$ с: $y_1 = \sin(\frac{2\pi}{0,08} \cdot 0,05) = \sin(\frac{5\pi}{4}) \approx -0,71$. $y_2 = \sin(\frac{2\pi}{0,04} \cdot 0,05) = \sin(\frac{5\pi}{2}) = 1$. $Y \approx -0,71 + 1 = 0,29$.
- При $t=0,06$ с: $y_1 = \sin(\frac{2\pi}{0,08} \cdot 0,06) = \sin(\frac{3\pi}{2}) = -1$. $y_2 = \sin(\frac{2\pi}{0,04} \cdot 0,06) = \sin(3\pi) = 0$. $Y = -1+0 = -1$.
- При $t=0,07$ с: $y_1 = \sin(\frac{2\pi}{0,08} \cdot 0,07) = \sin(\frac{7\pi}{4}) \approx -0,71$. $y_2 = \sin(\frac{2\pi}{0,04} \cdot 0,07) = \sin(\frac{7\pi}{2}) = -1$. $Y \approx -0,71 - 1 = -1,71$.
- При $t=0,08$ с: $y_1 = \sin(\frac{2\pi}{0,08} \cdot 0,08) = \sin(2\pi) = 0$. $y_2 = \sin(\frac{2\pi}{0,04} \cdot 0,08) = \sin(4\pi) = 0$. $Y = 0+0 = 0$.

Сравним полученные результаты с графиком на рисунке 18 б. - График на рис. 18 б представляет собой сложное периодическое колебание. - Его период равен периоду низкочастотной составляющей, то есть $T=0,08$ с. - Значения в контрольных точках (максимумы, минимумы, пересечения оси) на графике 18 б совпадают с рассчитанными значениями суммарного колебания $Y(t)$. Например, пик около 1,71 при $t=0,01$ с, значение 1 при $t=0,02$ с, значение -1 при $t=0,06$ с, и впадина около -1,71 при $t=0,07$ с. - Таким образом, результат сложения исходного графика и графика, построенного в пункте 1, полностью совпадает с графиком, представленным на рисунке 18 б.

Ответ: Полученный в результате сложения график представляет собой сложное периодическое колебание, форма и значения которого полностью соответствуют графику, изображенному на рисунке 18 б.