Номер 3, страница 194 - гдз по физике 11 класс учебник Закирова, Аширов

3*. Монохроматический пучок света с длиной волны $\lambda = 660 \text{ нм}$ падает нормально на поверхность с коэффициентом отражения $\rho = 0,8$. Определите количество фотонов, ежесекундно поглощаемых $S = 1 \text{ см}^2$ поверхности, если давление света на поверхность $p = 1 \text{ мкПа}$.

Дано:

Длина волны света: $λ = 660 \text{ нм}$

Коэффициент отражения: $ρ = 0,8$

Площадь поверхности: $S = 1 \text{ см}^2$

Давление света: $p = 1 \text{ мкПа}$

Время: $t = 1 \text{ с}$ (из условия "ежесекундно")

$λ = 660 \cdot 10^{-9} \text{ м}$
$S = 1 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2$
$p = 1 \cdot 10^{-6} \text{ Па}$

Найти:

Количество фотонов, ежесекундно поглощаемых поверхностью - $n_{погл}$

Решение:

Давление света $\text{p}$ при нормальном падении на поверхность с коэффициентом отражения $ρ$ связано с энергией падающего излучения. Импульс, передаваемый поверхности при падении и частичном отражении света, создает силу давления. Давление $\text{p}$ равно силе $\text{F}$, действующей на единицу площади $\text{S}$. Сила, в свою очередь, равна изменению импульса $\Delta P$ за единицу времени $\text{t}$.

$p = \frac{F}{S} = \frac{\Delta P}{S \cdot t}$

Пусть за время $\text{t}$ на поверхность падает $N_{пад}$ фотонов. Часть из них, $N_{отр} = ρ \cdot N_{пад}$, отражается, а другая часть, $N_{погл} = (1-ρ) \cdot N_{пад}$, поглощается.

Импульс одного фотона равен $p_{ф} = \frac{h}{λ}$, где $h \approx 6,63 \cdot 10^{-34} \text{ Дж} \cdot \text{с}$ – постоянная Планка. При поглощении фотон передает поверхности импульс $p_{ф}$. При отражении импульс фотона меняется на противоположный, и он передает поверхности импульс $2p_{ф}$.

Суммарный импульс, переданный поверхности за время $\text{t}$, равен сумме импульсов от поглощенных и отраженных фотонов:

$\Delta P = N_{погл} \cdot p_{ф} + N_{отр} \cdot (2 p_{ф}) = (1-ρ)N_{пад} \frac{h}{λ} + ρ N_{пад} \frac{2h}{λ}$

Вынесем общие множители за скобки:

$\Delta P = N_{пад} \frac{h}{λ} ((1-ρ) + 2ρ) = N_{пад} \frac{h}{λ} (1+ρ)$

Подставим это выражение в формулу для давления:

$p = \frac{N_{пад} \frac{h}{λ} (1+ρ)}{S \cdot t}$

Из этой формулы можно выразить число фотонов, падающих на поверхность в секунду, которое обозначим как $n_{пад} = N_{пад}/t$:

$n_{пад} = \frac{p S λ}{h(1+ρ)}$

Мы ищем количество фотонов, поглощаемых поверхностью ежесекундно, $n_{погл}$. Оно связано с числом падающих фотонов через коэффициент поглощения $\alpha = 1 - ρ$:

$n_{погл} = n_{пад} \cdot (1-ρ)$

Подставим выражение для $n_{пад}$:

$n_{погл} = \frac{p S λ}{h(1+ρ)} \cdot (1-ρ) = \frac{1-ρ}{1+ρ} \frac{p S λ}{h}$

Теперь подставим числовые значения из условия задачи в систему СИ:

$n_{погл} = \frac{1-0,8}{1+0,8} \cdot \frac{10^{-6} \text{ Па} \cdot 10^{-4} \text{ м}^2 \cdot 660 \cdot 10^{-9} \text{ м}}{6,63 \cdot 10^{-34} \text{ Дж}\cdot\text{с}}$

$n_{погл} = \frac{0,2}{1,8} \cdot \frac{660 \cdot 10^{-19}}{6,63 \cdot 10^{-34}} \text{ с}^{-1}$

$n_{погл} = \frac{1}{9} \cdot \frac{6,6 \cdot 10^2 \cdot 10^{-19}}{6,63 \cdot 10^{-34}} \text{ с}^{-1} \approx \frac{1}{9} \cdot 0,9955 \cdot 10^{17} \text{ с}^{-1}$

$n_{погл} \approx 0,1106 \cdot 10^{17} \text{ с}^{-1} \approx 1,1 \cdot 10^{16} \text{ с}^{-1}$

Ответ: ежесекундно поглощается $1,1 \cdot 10^{16}$ фотонов.