Задание 1, страница 135 - гдз по физике 11 класс учебник Закирова, Аширов

Задание 1

1. Докажите, что давление света на белую поверхность равна $p = \frac{2I}{c}$, на черную поверхность – $p = \frac{I}{c}$.

При доказательстве примите коэффициент отражения белой поверхности равной $\rho = 1$, черной поверхности $\rho = 0$.

2. Запишите единицы измерения давления и плотности энергии. Докажите, что они равны.

1. Давление $\text{p}$ определяется как сила $\text{F}$, действующая на единицу площади $\text{S}$ перпендикулярно поверхности: $p = \frac{F}{S}$. Сила, в свою очередь, равна изменению импульса $\Delta P$ за промежуток времени $\Delta t$: $F = \frac{\Delta P}{\Delta t}$. Таким образом, для нахождения давления света необходимо найти импульс, передаваемый светом поверхности за единицу времени.

Согласно квантовой теории, свет представляет собой поток фотонов. Рассмотрим поток света, падающий перпендикулярно на поверхность площадью $\text{S}$ в течение времени $\Delta t$. Энергия, переносимая этим потоком, равна $W = I S \Delta t$, где $\text{I}$ – интенсивность света.

Каждый фотон обладает энергией $E_{ph}$ и импульсом $p_{ph} = \frac{E_{ph}}{c}$, где $\text{c}$ – скорость света в вакууме. Суммарный импульс всех фотонов, падающих на поверхность за время $\Delta t$, равен $P_{пад} = \frac{W}{c} = \frac{I S \Delta t}{c}$.

При взаимодействии с поверхностью часть фотонов поглощается, а часть отражается. Коэффициент отражения $\rho$ показывает, какая доля падающей энергии (и, соответственно, числа фотонов) отражается от поверхности. Доля поглощенных фотонов равна $(1 - \rho)$.

При поглощении фотон полностью передает поверхности свой импульс: импульс, передаваемый одним поглощенным фотоном, равен $p_{ph}$. При зеркальном отражении импульс фотона меняет направление на противоположное. По закону сохранения импульса, поверхность получает импульс, равный изменению импульса фотона, то есть $2p_{ph}$.

Суммарный импульс, переданный поверхности за время $\Delta t$, складывается из импульса, переданного поглощенными и отраженными фотонами: $\Delta P = (1 - \rho) \cdot P_{пад} + \rho \cdot (2 P_{пад}) = P_{пад}(1 - \rho + 2\rho) = P_{пад}(1 + \rho)$.

Подставим выражение для $P_{пад}$: $\Delta P = \frac{I S \Delta t}{c} (1 + \rho)$.

Сила, действующая на поверхность, равна: $F = \frac{\Delta P}{\Delta t} = \frac{I S (1 + \rho)}{c}$.

Тогда давление света на поверхность: $p = \frac{F}{S} = \frac{I (1 + \rho)}{c}$.

Теперь применим эту общую формулу к двум указанным в задаче случаям.

Белая (идеально отражающая) поверхность: Для такой поверхности коэффициент отражения $\rho = 1$. Подставляем это значение в общую формулу: $p = \frac{I (1 + 1)}{c} = \frac{2I}{c}$.

Черная (идеально поглощающая) поверхность: Для такой поверхности коэффициент отражения $\rho = 0$. Подставляем это значение в общую формулу: $p = \frac{I (1 + 0)}{c} = \frac{I}{c}$.

Ответ: Формулы давления света $p = \frac{2I}{c}$ для белой поверхности ($\rho = 1$) и $p = \frac{I}{c}$ для черной поверхности ($\rho = 0$) доказаны на основе связи давления с изменением импульса фотонов при их взаимодействии с поверхностью.

2. Единицы измерения давления: Давление ($\text{p}$) — это скалярная физическая величина, равная отношению модуля силы ($\text{F}$), действующей на поверхность перпендикулярно, к площади ($\text{S}$) этой поверхности. В Международной системе единиц (СИ) давление измеряется в паскалях (Па). $1 \text{ Па} = 1 \frac{\text{Н}}{\text{м}^2}$.

Единицы измерения плотности энергии: Объемная плотность энергии ($\omega$) — это энергия ($\text{W}$) на единицу объема ($\text{V}$). В СИ плотность энергии измеряется в джоулях на кубический метр ($\frac{\text{Дж}}{\text{м}^3}$).

Доказательство равенства единиц измерения: Чтобы доказать, что эти единицы измерения равны, выразим их через основные единицы СИ: килограмм (кг), метр (м), секунда (с).

Выразим паскаль (Па): Единица силы, ньютон (Н), определяется как $1 \text{ Н} = 1 \frac{\text{кг} \cdot \text{м}}{\text{с}^2}$. Следовательно, единица давления: $1 \text{ Па} = 1 \frac{\text{Н}}{\text{м}^2} = 1 \frac{\frac{\text{кг} \cdot \text{м}}{\text{с}^2}}{\text{м}^2} = 1 \frac{\text{кг}}{\text{м} \cdot \text{с}^2}$.

Выразим джоуль на кубический метр ($\frac{\text{Дж}}{\text{м}^3}$): Единица энергии, джоуль (Дж), определяется как $1 \text{ Дж} = 1 \text{ Н} \cdot \text{м} = 1 \frac{\text{кг} \cdot \text{м}^2}{\text{с}^2}$. Следовательно, единица плотности энергии: $1 \frac{\text{Дж}}{\text{м}^3} = 1 \frac{\frac{\text{кг} \cdot \text{м}^2}{\text{с}^2}}{\text{м}^3} = 1 \frac{\text{кг}}{\text{м} \cdot \text{с}^2}$.

Сравнивая полученные выражения, мы видим, что они идентичны: $1 \text{ Па} = 1 \frac{\text{кг}}{\text{м} \cdot \text{с}^2}$ и $1 \frac{\text{Дж}}{\text{м}^3} = 1 \frac{\text{кг}}{\text{м} \cdot \text{с}^2}$. Это доказывает, что единицы измерения давления и плотности энергии равны.

Ответ: Единица измерения давления — паскаль (Па), единица измерения плотности энергии — джоуль на кубический метр ($\frac{\text{Дж}}{\text{м}^3}$). Доказано, что $1 \text{ Па} = 1 \frac{\text{Дж}}{\text{м}^3}$, так как обе единицы в основных единицах СИ выражаются как $\frac{\text{кг}}{\text{м} \cdot \text{с}^2}$.