Задание 1, страница 206 - гдз по физике 11 класс учебник Закирова, Аширов

Задание 1

1. Выразите в угловых секундах значение угла, равного 1 рад.

2. Докажите, что свет проходит расстояние от $\alpha$-Центавра до Солнца за 4 года.

3. Докажите верность соотношений единиц измерений:

$1 \text{ пк} = 3,26 \text{ св. г.} = 206\,265 \text{ а.е.} = 3 \cdot 10^{13} \text{ км.}$

1. Выразите в угловых секундах значение угла, равного 1 рад.

Решение:

Для перевода радианов в угловые секунды воспользуемся следующими соотношениями. Полный круг составляет $360^\circ$ или $2\pi$ радиан. Из этого следует, что один радиан равен:

$1 \text{ рад} = \frac{360^\circ}{2\pi} = \frac{180^\circ}{\pi}$

Каждый градус ($^\circ$) делится на 60 угловых минут ($'$), а каждая минута — на 60 угловых секунд ($''$). Таким образом, в одном градусе содержится:

$1^\circ = 60' \times 60'' = 3600''$

Теперь мы можем рассчитать, сколько угловых секунд в одном радиане:

$1 \text{ рад} = \frac{180}{\pi} \times 3600'' = \frac{648000}{\pi}'' \approx 206264.8''$

При округлении до целого числа получаем 206 265 угловых секунд.

Ответ: $1 \text{ рад} \approx 206 265''$.

2. Докажите, что свет проходит расстояние от α-Центавра до Солнца за 4 года.

Дано:

Годичный параллакс звезды α-Центавра (справочное значение): $p \approx 0.75''$.

Соотношение из задачи 3: $1 \text{ пк} \approx 3.26 \text{ св. г.}$.

Найти:

Время $\text{t}$, за которое свет проходит расстояние от α-Центавра до Солнца.

Решение:

Расстояние до звезды в парсеках ($L_{пк}$) обратно пропорционально её годичному параллаксу $\text{p}$, выраженному в угловых секундах:

$L_{пк} = \frac{1}{p}$

Подставим известное значение параллакса для α-Центавра:

$L_{пк} = \frac{1}{0.75} \approx 1.33 \text{ пк}$

Теперь переведем это расстояние в световые годы (св. г.), используя соотношение, которое будет доказано в следующей задаче:

$L_{св.г.} = L_{пк} \times 3.26 \frac{\text{св. г.}}{\text{пк}} = 1.33 \times 3.26 \approx 4.34 \text{ св. г.}$

По определению, световой год — это расстояние, которое свет проходит в вакууме за один год. Следовательно, время, за которое свет преодолевает расстояние в $\text{N}$ световых лет, равно $\text{N}$ годам.

Таким образом, свету от α-Центавра до Солнца требуется примерно 4.34 года. Это значение можно округлить до 4 лет, что и требовалось доказать.

Ответ: Расстояние до α-Центавра составляет примерно 4.34 световых года, что означает, что свету требуется 4.34 года, чтобы дойти до Солнца. Это значение близко к 4 годам, указанным в условии.

3. Докажите верность соотношений единиц измерений: 1 пк = 3,26 св. г. = 206 265 а.е. = 3 · 10¹³ км.

Решение:

Докажем верность каждого из равенств последовательно.

а) Доказательство равенства $1 \text{ пк} = 206 265 \text{ а.е.}$

Один парсек (пк) по определению является расстоянием, с которого средний радиус земной орбиты (1 астрономическая единица, а.е.), видимый под прямым углом к лучу зрения, имеет угловой размер в одну секунду дуги ($1''$).

Для малого угла $\text{p}$, выраженного в радианах, верно соотношение: $p \approx \tan(p) = \frac{1 \text{ а.е.}}{1 \text{ пк}}$. Отсюда следует, что $1 \text{ пк} = \frac{1 \text{ а.е.}}{p_{\text{рад}}}$.

Из решения первой задачи мы знаем, что $1 \text{ рад} \approx 206 265''$, значит, $1'' \approx \frac{1}{206 265}$ радиан.

Подставим это значение угла в формулу для парсека:

$1 \text{ пк} = \frac{1 \text{ а.е.}}{1 / 206 265} = 206 265 \text{ а.е.}$

Равенство доказано.

б) Доказательство равенства $1 \text{ пк} = 3.26 \text{ св. г.}$

Для доказательства выразим 1 световой год (св. г.) в астрономических единицах. 1 св. г. = (скорость света) × (1 год).

Используем справочные данные: скорость света $c \approx 299 792 458$ м/с, 1 год $\approx 3.1557 \times 10^7$ с, 1 а.е. $\approx 1.496 \times 10^{11}$ м.

1 св. г. $\approx 299792458 \frac{\text{м}}{\text{с}} \times 3.1557 \times 10^7 \text{ с} \approx 9.46 \times 10^{15}$ м.

Теперь переведем световой год в астрономические единицы:

$1 \text{ св. г.} = \frac{9.46 \times 10^{15} \text{ м}}{1.496 \times 10^{11} \text{ м/а.е.}} \approx 63241 \text{ а.е.}$

Теперь мы можем найти отношение 1 пк к 1 св. г.:

$\frac{1 \text{ пк}}{1 \text{ св. г.}} = \frac{206 265 \text{ а.е.}}{63 241 \text{ а.е.}} \approx 3.2616$

Округляя, получаем, что $1 \text{ пк} \approx 3.26 \text{ св. г.}$. Равенство доказано.

в) Доказательство равенства $1 \text{ пк} = 3 \cdot 10^{13} \text{ км}$

Воспользуемся доказанным соотношением $1 \text{ пк} = 206 265 \text{ а.е.}$ и справочным значением 1 а.е. $\approx 1.496 \times 10^8$ км.

$1 \text{ пк} = 206 265 \times 1.496 \times 10^8 \text{ км} \approx 3.0857 \times 10^{13} \text{ км}$.

Это значение очень близко к $3 \times 10^{13}$ км, указанному в задаче. Небольшое расхождение объясняется использованием округленных значений в условии. Таким образом, данное соотношение является верным приближением.

Ответ: Все три соотношения верны с учетом принятых в астрономии определений и допустимых округлений, что и требовалось доказать.