Номер 136, страница 89 - гдз по геометрии 11 класс рабочая тетрадь Бутузов, Глазков

7.3. Движения - номер 136, страница 89.

136 Докажите, что при движении плоскость отображается на плоскость. (Задача 7276 учебника.)

Доказательство.

Возьмём произвольную плоскость $\alpha$ и проведём в ней две пересекающиеся прямые $a$ и $b$ ($O$ — точка пересечения). При данном движении $a$ и $b$ переходят в некоторые $a_1$ и $b_1$, точка $O$ — в какую-то точку $O_1$. Так как $O \in a$ и $O \in b$, то $O_1 \in a_1$ и $O_1 \in b_1$, следовательно, прямые $a_1$ и $b_1$ пересекаются в точке $O_1$.

Через пересекающиеся прямые $a_1$ и $b_1$ проходит плоскость, и притом (обозначим её $\alpha_1$). Докажем, что при данном движении $\alpha$ отображается на плоскость $\alpha_1$.

Для этого надо доказать, что:

a) произвольная точка $M$ плоскости $\alpha$ переходит в некоторую $M_1$ плоскости $\alpha_1$.

б) в любую точку плоскости $\alpha_1$ переходит некоторая точка плоскости $\alpha$.

а) Через произвольную точку $M$ плоскости $\alpha$ проведём прямую, пересекающую $a$ и $b$ в каких-то точках $A$ и $B$. При данном движении точка $A$ переходит в некоторую $A_1$ прямой $a_1$, точка $B$ — в $B_1$ прямой $b_1$, а прямая $AB$ — в прямую $A_1B_1$. При этом точка $M$ прямой $AB$ переходит в некоторую $M_1$, лежащую на $A_1B_1$. Так как $A_1 \in \alpha_1$ и $B_1 \in \alpha_1$, то прямая $A_1B_1$ лежит в $\alpha_1$, в частности $M_1 \in \alpha_1$.

б) Аналогично доказывается, что в любую точку $\alpha_1$ переходит некоторая точка плоскости $\alpha$.

Таким образом, при движении плоскость $\alpha$ отображается на плоскость $\alpha_1$.

Возьмём произвольную плоскость $\alpha$ и проведём в ней две пересекающиеся прямые $a$ и $b$ ($O$ — точка пересечения). При данном движении прямые $a$ и $b$ переходят в некоторые прямые $a_1$ и $b_1$, точка $O$ — в какую-то точку $O_1$. Так как $O \in$ $a$ и $O \in$ $b$, то $O_1 \in$ $a_1$ и $O_1 \in$ $b_1$, следовательно, прямые $a_1$ и $b_1$ пересекаются в точке $O_1$.

Через пересекающиеся прямые $a_1$ и $b_1$ проходит плоскость, и притом единственная (обозначим её $\alpha_1$). Докажем, что при данном движении плоскость $\alpha$ отображается на плоскость $\alpha_1$.

Для этого надо доказать, что:

а) произвольная точка $M$ плоскости $\alpha$ переходит в некоторую точку $M_1$ плоскости $\alpha_1$.

б) в любую точку плоскости $\alpha_1$ переходит некоторая точка плоскости $\alpha$.

а) произвольная точка $M$ плоскости $\alpha$ переходит в некоторую точку $M_1$ плоскости $\alpha_1$

Через произвольную точку $M$ плоскости $\alpha$ проведём прямую, пересекающую прямые $a$ и $b$ в каких-то точках $A$ и $B$. При данном движении точка $A$ переходит в некоторую точку $A_1$ прямой $a_1$, точка $B$ — в точку $B_1$ прямой $b_1$, а прямая $AB$ — в прямую $A_1B_1$. При этом точка $M$ прямой $AB$ переходит в некоторую точку $M_1$, лежащую на прямой $A_1B_1$. Так как $A_1 \in a_1 \subset \alpha_1$ и $B_1 \in b_1 \subset \alpha_1$, то точки $A_1$ и $B_1$ принадлежат плоскости $\alpha_1$. Следовательно, вся прямая $A_1B_1$, проходящая через эти две точки, лежит в плоскости $\alpha_1$. В частности, точка $M_1$, принадлежащая прямой $A_1B_1$, также принадлежит плоскости $\alpha_1$ ($M_1$ $\in$ $\alpha_1$).

Ответ: Доказано, что образ любой точки плоскости $\alpha$ при данном движении лежит в плоскости $\alpha_1$.

б) в любую точку плоскости $\alpha_1$ переходит некоторая точка плоскости $\alpha$

Аналогично доказывается, что в любую точку плоскости $\alpha_1$ переходит некоторая точка плоскости $\alpha$. Это свойство (сюръективность отображения) следует из того, что для любого движения существует обратное преобразование, которое также является движением. Применив рассуждения из пункта а) к обратному движению, которое отображает плоскость $\alpha_1$ на некоторую плоскость, мы можем показать, что эта результирующая плоскость совпадает с $\alpha$. Таким образом, для любой точки в плоскости $\alpha_1$ существует прообраз в плоскости $\alpha$.

Ответ: Доказано, что любая точка плоскости $\alpha_1$ является образом некоторой точки из плоскости $\alpha$.

Таким образом, поскольку движение отображает каждую точку плоскости $\alpha$ в точку плоскости $\alpha_1$ (пункт а), и для каждой точки плоскости $\alpha_1$ находится прообраз в плоскости $\alpha$ (пункт б), при движении плоскость отображается на плоскость.