Номер 133, страница 86 - гдз по геометрии 11 класс рабочая тетрадь Бутузов, Глазков

7.3. Движения - номер 133, страница 86.

133 Найдите координаты точек, в которые переходят точки $A(2; -1; 3)$, $B(2; 0; -3)$, $C(0; -1; 2)$ при:

a) центральной симметрии относительно начала координат;

б) осевой симметрии относительно оси ординат;

в) зеркальной симметрии относительно плоскости $Oxz$.

Решение.

a) При центральной относительно начала координат точка $M(x; y; z)$ переходит в точку $M_1(-x; \_\_\_; \_\_\_).$ Следовательно, точка $A(2; -1; \_\_\_)$ переходит в точку $A_1(\_\_\_; \_\_\_; -3)$, точка $B(\_\_\_; \_\_\_; \_\_\_)$ – в точку $B_1(-2; \_\_\_; \_\_\_)$, точка $C(\_\_\_; \_\_\_; \_\_\_)$ – в точку $C_1(\_\_\_; \_\_\_; \_\_\_).$

б) При осевой относительно ординат точка $M(x; y; z)$ переходит в точку $M_2(\_\_\_; \_\_\_; -z).$ Следовательно, точка $A(\_\_\_; -1; 3)$ переходит в точку $A_2(-2; \_\_\_; \_\_\_)$, точка $B(2; \_\_\_; \_\_\_)$ – в точку $B_2(\_\_\_; \_\_\_; 3)$, точка $C(\_\_\_; \_\_\_; \_\_\_)$ – в точку $C_2(\_\_\_; -1; \_\_\_).$

в) При симметрии относительно $Oxz$ точка $M(x; y; z)$ переходит в точку $M_3(x; \_\_\_; \_\_\_).$ Следовательно, точка $A(2; \_\_\_; 3)$ переходит в точку $A_3(\_\_\_; 1; \_\_\_)$, точка $B(\_\_\_; 0; -3)$ – в точку $B_3(2; \_\_\_; \_\_\_)$, точка $C(\_\_\_; \_\_\_; \_\_\_)$ – в точку $C_3(\_\_\_; \_\_\_; \_\_\_).$

Ответ.

a) $A_1(\_\_\_; \_\_\_; \_\_\_)$, $B_1(\_\_\_; \_\_\_; \_\_\_)$, $C_1(\_\_\_; \_\_\_; \_\_\_)$;

б) $A_2(\_\_\_; \_\_\_; \_\_\_)$,

в)

а) центральной симметрии относительно начала координат;

При центральной симметрии относительно начала координат точка с координатами $(x; y; z)$ переходит в точку с координатами $(-x; -y; -z)$. Это означает, что каждая координата исходной точки меняет свой знак на противоположный.

Применим это правило к заданным точкам:

Для точки $A(2; -1; 3)$ координаты новой точки $A_1$ будут: $(-2; -(-1); -3)$, то есть $A_1(-2; 1; -3)$.
Для точки $B(2; 0; -3)$ координаты новой точки $B_1$ будут: $(-2; -0; -(-3))$, то есть $B_1(-2; 0; 3)$.
Для точки $C(0; -1; 2)$ координаты новой точки $C_1$ будут: $(-0; -(-1); -2)$, то есть $C_1(0; 1; -2)$.

Ответ: $A_1(-2; 1; -3)$, $B_1(-2; 0; 3)$, $C_1(0; 1; -2)$.

б) осевой симметрии относительно оси ординат;

При осевой симметрии относительно оси ординат (оси $Oy$) точка с координатами $(x; y; z)$ переходит в точку с координатами $(-x; y; -z)$. Координата $y$ (ордината) остается без изменений, а знаки координат $x$ (абсцисса) и $z$ (аппликата) меняются на противоположные.

Применим это правило к заданным точкам:

Для точки $A(2; -1; 3)$ координаты новой точки $A_2$ будут: $(-2; -1; -3)$, то есть $A_2(-2; -1; -3)$.
Для точки $B(2; 0; -3)$ координаты новой точки $B_2$ будут: $(-2; 0; -(-3))$, то есть $B_2(-2; 0; 3)$.
Для точки $C(0; -1; 2)$ координаты новой точки $C_2$ будут: $(-0; -1; -2)$, то есть $C_2(0; -1; -2)$.

Ответ: $A_2(-2; -1; -3)$, $B_2(-2; 0; 3)$, $C_2(0; -1; -2)$.

в) зеркальной симметрии относительно плоскости Oxz.

При зеркальной симметрии относительно плоскости $Oxz$ точка с координатами $(x; y; z)$ переходит в точку с координатами $(x; -y; z)$. Координаты $x$ и $z$ остаются без изменений, а знак координаты $y$ меняется на противоположный.

Применим это правило к заданным точкам:

Для точки $A(2; -1; 3)$ координаты новой точки $A_3$ будут: $(2; -(-1); 3)$, то есть $A_3(2; 1; 3)$.
Для точки $B(2; 0; -3)$ координаты новой точки $B_3$ будут: $(2; -0; -3)$, то есть $B_3(2; 0; -3)$.
Для точки $C(0; -1; 2)$ координаты новой точки $C_3$ будут: $(0; -(-1); 2)$, то есть $C_3(0; 1; 2)$.

Ответ: $A_3(2; 1; 3)$, $B_3(2; 0; -3)$, $C_3(0; 1; 2)$.