Страница 86 - гдз по геометрии 11 класс рабочая тетрадь Бутузов, Глазков

132 В тетраэдре $ABCD$ $\angle ABC = \angle ABD = z$

$= \angle CBD = 90^\circ$, $AB = BD = 2$, $BC = 1$.

Вычислите синус угла между прямой, проходящей через середины ребер $AD$ и $BC$, и плоскостью грани $ABD$. (Задача 711а учебника.)

Решение.

По условию $\angle ABC = \angle ABD = \angle CBD = 90^\circ$. Поэтому можно ввести прямоугольную систему координат с началом в точке $B$ так, как показано на рисунке.

Тогда $A(2; 0; 0)$, $C(0; 1 ; 0)$, $D(0; 0 ; 2)$.

1) Пусть точка K — середина ребра AD, точка P — середина BC.

Тогда $K(1; 0 ; 1)$, $P(0 ; 0{,}5; 0)$.

2) Пусть $\phi$ — угол между прямой KP и _______ грани ABD. Синус угла $\phi$ равен модулю _______

_______ угла $\beta$ между прямой KP и вектором $\vec{BC}$, _______ к плоскости ABD.

Так как $\vec{KP}\{-1; 0{,}5 ; -1 \}$, $\vec{BC}\{0; 1 ; 0 \}$, то

$ \sin\phi = |\cos\beta| = \frac{|-1 \cdot 0 + 0{,}5 \cdot 1 + (-1)\cdot 0|}{\sqrt{1^2 + (0{,}5)^2 + (-1)^2} \cdot \sqrt{0^2 + 1^2 + 0^2}} = \frac{|0{,}5|}{\sqrt{2{,}25} \cdot \sqrt{1}} = \frac{0{,}5}{1{,}5} = \frac{1}{3} $

Ответ. $\frac{1}{3}$

По условию в тетраэдре $ABCD$ углы $\angle ABC$, $\angle ABD$ и $\angle CBD$ прямые. Это означает, что ребра $BA$, $BC$, $BD$, выходящие из вершины $B$, попарно перпендикулярны. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке $B$, направив оси $Ox$, $Oy$ и $Oz$ вдоль лучей $BA$, $BC$ и $BD$ соответственно.

В этой системе координат вершины тетраэдра имеют следующие координаты:

• $B(0; 0; 0)$ — начало координат.
• $A$ лежит на оси $Ox$ и $AB=2$, следовательно, $A(2; 0; 0)$.
• $C$ лежит на оси $Oy$ и $BC=1$, следовательно, $C(0; 1; 0)$.
• $D$ лежит на оси $Oz$ и $BD=2$, следовательно, $D(0; 0; 2)$.

1) Найдем координаты середин ребер AD и BC.

Пусть $K$ — середина ребра $AD$. Координаты точки $K$ равны полусумме соответствующих координат точек $A$ и $D$:$K\left(\frac{2+0}{2}; \frac{0+0}{2}; \frac{0+2}{2}\right) = K(1; 0; 1)$.

Пусть $P$ — середина ребра $BC$. Координаты точки $P$ равны полусумме соответствующих координат точек $B$ и $C$:$P\left(\frac{0+0}{2}; \frac{0+1}{2}; \frac{0+0}{2}\right) = P(0; 0,5; 0)$.

2) Найдем синус угла между прямой KP и плоскостью ABD.

Угол $\phi$ между прямой и плоскостью — это угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость. Синус этого угла можно вычислить по формуле:$\sin\phi = |\cos\beta|$, где $\beta$ — угол между направляющим вектором прямой и нормальным вектором плоскости.

В качестве направляющего вектора прямой $KP$ возьмем вектор $\vec{KP}$:$\vec{KP} = \{0-1; 0,5-0; 0-1\} = \{-1; 0,5; -1\}$.

Плоскость грани $ABD$ в нашей системе координат совпадает с координатной плоскостью $xOz$. Уравнение этой плоскости $y=0$. Нормальный вектор $\vec{n}$ к этой плоскости коллинеарен оси $Oy$. Например, $\vec{n} = \{0; 1; 0\}$. Заметим, что вектор $\vec{BC} = \{0-0; 1-0; 0-0\} = \{0; 1; 0\}$ также является нормальным вектором к плоскости $ABD$.

Теперь вычислим синус искомого угла по формуле, используя скалярное произведение векторов:$\sin\phi = \frac{|\vec{KP} \cdot \vec{BC}|}{|\vec{KP}| \cdot |\vec{BC}|}$

Найдем скалярное произведение:$\vec{KP} \cdot \vec{BC} = (-1) \cdot 0 + 0,5 \cdot 1 + (-1) \cdot 0 = 0,5$.

Найдем длины векторов:$|\vec{KP}| = \sqrt{(-1)^2 + (0,5)^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 0,25 + 1} = \sqrt{2,25} = 1,5$.$|\vec{BC}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{1} = 1$.

Подставим найденные значения в формулу:$\sin\phi = \frac{|0,5|}{1,5 \cdot 1} = \frac{0,5}{1,5} = \frac{5}{15} = \frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$.

133 Найдите координаты точек, в которые переходят точки $A(2; -1; 3)$, $B(2; 0; -3)$, $C(0; -1; 2)$ при:

a) центральной симметрии относительно начала координат;

б) осевой симметрии относительно оси ординат;

в) зеркальной симметрии относительно плоскости $Oxz$.

Решение.

a) При центральной относительно начала координат точка $M(x; y; z)$ переходит в точку $M_1(-x; \_\_\_; \_\_\_).$ Следовательно, точка $A(2; -1; \_\_\_)$ переходит в точку $A_1(\_\_\_; \_\_\_; -3)$, точка $B(\_\_\_; \_\_\_; \_\_\_)$ – в точку $B_1(-2; \_\_\_; \_\_\_)$, точка $C(\_\_\_; \_\_\_; \_\_\_)$ – в точку $C_1(\_\_\_; \_\_\_; \_\_\_).$

б) При осевой относительно ординат точка $M(x; y; z)$ переходит в точку $M_2(\_\_\_; \_\_\_; -z).$ Следовательно, точка $A(\_\_\_; -1; 3)$ переходит в точку $A_2(-2; \_\_\_; \_\_\_)$, точка $B(2; \_\_\_; \_\_\_)$ – в точку $B_2(\_\_\_; \_\_\_; 3)$, точка $C(\_\_\_; \_\_\_; \_\_\_)$ – в точку $C_2(\_\_\_; -1; \_\_\_).$

в) При симметрии относительно $Oxz$ точка $M(x; y; z)$ переходит в точку $M_3(x; \_\_\_; \_\_\_).$ Следовательно, точка $A(2; \_\_\_; 3)$ переходит в точку $A_3(\_\_\_; 1; \_\_\_)$, точка $B(\_\_\_; 0; -3)$ – в точку $B_3(2; \_\_\_; \_\_\_)$, точка $C(\_\_\_; \_\_\_; \_\_\_)$ – в точку $C_3(\_\_\_; \_\_\_; \_\_\_).$

Ответ.

a) $A_1(\_\_\_; \_\_\_; \_\_\_)$, $B_1(\_\_\_; \_\_\_; \_\_\_)$, $C_1(\_\_\_; \_\_\_; \_\_\_)$;

б) $A_2(\_\_\_; \_\_\_; \_\_\_)$,

в)

а) центральной симметрии относительно начала координат;

При центральной симметрии относительно начала координат точка с координатами $(x; y; z)$ переходит в точку с координатами $(-x; -y; -z)$. Это означает, что каждая координата исходной точки меняет свой знак на противоположный.

Применим это правило к заданным точкам:

Для точки $A(2; -1; 3)$ координаты новой точки $A_1$ будут: $(-2; -(-1); -3)$, то есть $A_1(-2; 1; -3)$.
Для точки $B(2; 0; -3)$ координаты новой точки $B_1$ будут: $(-2; -0; -(-3))$, то есть $B_1(-2; 0; 3)$.
Для точки $C(0; -1; 2)$ координаты новой точки $C_1$ будут: $(-0; -(-1); -2)$, то есть $C_1(0; 1; -2)$.

Ответ: $A_1(-2; 1; -3)$, $B_1(-2; 0; 3)$, $C_1(0; 1; -2)$.

б) осевой симметрии относительно оси ординат;

При осевой симметрии относительно оси ординат (оси $Oy$) точка с координатами $(x; y; z)$ переходит в точку с координатами $(-x; y; -z)$. Координата $y$ (ордината) остается без изменений, а знаки координат $x$ (абсцисса) и $z$ (аппликата) меняются на противоположные.

Применим это правило к заданным точкам:

Для точки $A(2; -1; 3)$ координаты новой точки $A_2$ будут: $(-2; -1; -3)$, то есть $A_2(-2; -1; -3)$.
Для точки $B(2; 0; -3)$ координаты новой точки $B_2$ будут: $(-2; 0; -(-3))$, то есть $B_2(-2; 0; 3)$.
Для точки $C(0; -1; 2)$ координаты новой точки $C_2$ будут: $(-0; -1; -2)$, то есть $C_2(0; -1; -2)$.

Ответ: $A_2(-2; -1; -3)$, $B_2(-2; 0; 3)$, $C_2(0; -1; -2)$.

в) зеркальной симметрии относительно плоскости Oxz.

При зеркальной симметрии относительно плоскости $Oxz$ точка с координатами $(x; y; z)$ переходит в точку с координатами $(x; -y; z)$. Координаты $x$ и $z$ остаются без изменений, а знак координаты $y$ меняется на противоположный.

Применим это правило к заданным точкам:

Для точки $A(2; -1; 3)$ координаты новой точки $A_3$ будут: $(2; -(-1); 3)$, то есть $A_3(2; 1; 3)$.
Для точки $B(2; 0; -3)$ координаты новой точки $B_3$ будут: $(2; -0; -3)$, то есть $B_3(2; 0; -3)$.
Для точки $C(0; -1; 2)$ координаты новой точки $C_3$ будут: $(0; -(-1); 2)$, то есть $C_3(0; 1; 2)$.

Ответ: $A_3(2; 1; 3)$, $B_3(2; 0; -3)$, $C_3(0; 1; 2)$.