Страница 84 - гдз по геометрии 11 класс рабочая тетрадь Бутузов, Глазков

129 При каком значении $x$ векторы $\vec{a}\{x; -1; 0\}$ и $\vec{b}\{2; 6; -3\}$ перпендикулярны?

Решение.

Поскольку $\vec{a} \neq \vec{0}$ и $\vec{b} \neq \vec{0}$, то $\vec{a} \perp \vec{b}$ тогда и только тогда, когда $\vec{a}\vec{b} = 0$. Из условия $\vec{a}\vec{b} = 0$ получаем $x \cdot 2 + (-1) \cdot 6 + 0 \cdot (-3) = 0$.

Решим полученное уравнение: $2x - 6 = 0$; $x = 3$.

Ответ.

3

Решение.

Два ненулевых вектора перпендикулярны (ортогональны) тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.

Даны векторы $\vec{a}\{x; -1; 0\}$ и $\vec{b}\{2; 6; -3\}$.

Скалярное произведение векторов $\vec{a}\{x_1; y_1; z_1\}$ и $\vec{b}\{x_2; y_2; z_2\}$ в координатной форме вычисляется по формуле:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2$

Для того чтобы векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ были перпендикулярны, необходимо выполнение условия $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$.

Подставим координаты данных векторов в формулу скалярного произведения и приравняем результат к нулю:
$x \cdot 2 + (-1) \cdot 6 + 0 \cdot (-3) = 0$

Решим полученное уравнение относительно переменной $x$:
$2x - 6 + 0 = 0$
$2x - 6 = 0$
$2x = 6$
$x = \frac{6}{2}$
$x = 3$

Таким образом, при $x = 3$ скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равно нулю, что означает, что векторы перпендикулярны.

Ответ: 3

130 Точки $A(0; 0; 0)$, $B(3; 0; 0)$, $D(0; 4; 0)$ и $A_1(0; 0; 5\sqrt{3})$ — вершины прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Найдите: а) $\vec{AA_1} \cdot \vec{A_1D}$; б) $\vec{CA} \cdot \vec{CA_1}$; в) косинус угла $\varphi$ между прямыми $A_1D$ и $AC$; г) синус угла $\alpha$ между прямой $CA_1$ и плоскостью $ABC$; д) длину диагонали $A_1C$.

Решение.

а) Найдём координаты __

$\vec{AA_1}$ и $\vec{A_1D}$: $\vec{AA_1}\{\text{__}; \text{__}; \text{__}\}$, $\vec{A_1D}\{\text{__}; \text{__}; \text{__}\}$.

Следовательно, $\vec{AA_1} \cdot \vec{A_1D} = 0 \cdot \text{__} + \text{__}\cdot \text{__} + \text{__}\cdot (-5\sqrt{3}) = \text{__}$

б) $\vec{CA} = -\vec{AC} = -(\vec{AB} + \text{__})$, $\vec{CA_1} = -\vec{A_1C} = -(\vec{A_1B_1} + \text{__} + \text{__} - \text{__})$, где $\vec{AB}\{\text{__}; \text{__}; \text{__}\}$, $\vec{AD}\{\text{__}; \text{__}; \text{__}\}$, $\vec{AA_1}\{\text{__}; \text{__}; \text{__}\}$. Значит, $\vec{CA}\{-3; \text{__}; 0\}$, $\vec{CA_1}\{\text{__}; -4; \text{__}\}$.

Отсюда получаем $\vec{CA} \cdot \vec{CA_1} = 3 \cdot \text{__} + \text{__}\cdot \text{__} + \text{__}\cdot \text{__} = \text{__}$

в) Направляющими векторами прямых $A_1D$ и $AC$ служат векторы $\vec{A_1D}\{\text{__}; \text{__}; \text{__}\}$ и $\vec{AC}\{\text{__}; \text{__}; \text{__}\}$. Поэтому

$\cos\varphi = \frac{|0 \cdot \text{__} + \text{__} \cdot 4 + \text{__} \cdot \text{__}|}{\sqrt{\text{__}^2 + 4^2 + (\text{__})^2} \cdot \sqrt{\text{__}^2 + \text{__}^2 + \text{__}^2}} = \frac{16}{\sqrt{91} \cdot \text{__}} = \frac{16}{455}\sqrt{\text{__}}$

г) Синус угла $\alpha$ между прямой $CA_1$ и __ ABC равен модулю __ угла $\beta$ между направляющим $\vec{CA_1}$ прямой $CA_1$ и вектором $\vec{AA_1}$, перпендикулярным плоскости __.

Так как $\vec{CA_1}\{\text{__}; \text{__}; \text{__}\}$, $\vec{AA_1}\{\text{__}; \text{__}; \text{__}\}$, то $\sin \alpha = \left|\frac{\text{__}\cdot\text{__} + \text{__}\cdot\text{__} + \text{__}\cdot\text{__}}{\sqrt{\text{__} + \text{__} + \text{__}}\cdot\sqrt{\text{__} + \text{__} + \text{__}}}\right| = \frac{\text{__}}{\text{__}\cdot 5\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{\text{__}}$.

д) Длина отрезка $A_1C$ равна __ вектора $\vec{CA_1}$, т. е. $A_1C = |\vec{CA_1}| = \sqrt{(\text{__})^2 + (\text{__})^2 + (\text{__})^2} = \sqrt{(-3)^2 + \text{__}^2 + \text{__}^2} = \text{__}$

Ответ. а) __; б) __; в) __; г) __; д) __

Для решения задачи сначала определим координаты всех необходимых вершин и векторов. Дано: $A(0; 0; 0)$, $B(3; 0; 0)$, $D(0; 4; 0)$ и $A_1(0; 0; 5\sqrt{3})$. Так как $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — прямоугольный параллелепипед, то его рёбра, выходящие из одной вершины, взаимно перпендикулярны. Векторы рёбер из вершины A: $\vec{AB} = \{3-0; 0-0; 0-0\} = \{3; 0; 0\}$ $\vec{AD} = \{0-0; 4-0; 0-0\} = \{0; 4; 0\}$ $\vec{AA_1} = \{0-0; 0-0; 5\sqrt{3}-0\} = \{0; 0; 5\sqrt{3}\}$

Координаты вершины C можно найти по правилу параллелограмма для основания ABCD: $\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD} = \{3; 4; 0\}$. Поскольку $A$ — начало координат, координаты точки $C$ совпадают с координатами вектора $\vec{AC}$, то есть $C(3; 4; 0)$.

а) Найдём координаты векторов $\vec{AA_1}$ и $\vec{A_1D}$.

$\vec{AA_1} = \{0; 0; 5\sqrt{3}\}$ (уже найден).

$\vec{A_1D} = D - A_1 = \{0-0; 4-0; 0-5\sqrt{3}\} = \{0; 4; -5\sqrt{3}\}$.

Теперь найдём их скалярное произведение:

$\vec{AA_1} \cdot \vec{A_1D} = 0 \cdot 0 + 0 \cdot 4 + 5\sqrt{3} \cdot (-5\sqrt{3}) = 0 + 0 - 25 \cdot 3 = -75$.

Ответ: -75

б) Найдём координаты векторов $\vec{CA}$ и $\vec{CA_1}$.

$\vec{CA} = A - C = \{0-3; 0-4; 0-0\} = \{-3; -4; 0\}$.

$\vec{CA_1} = A_1 - C = \{0-3; 0-4; 5\sqrt{3}-0\} = \{-3; -4; 5\sqrt{3}\}$.

Теперь найдём их скалярное произведение:

$\vec{CA} \cdot \vec{CA_1} = (-3) \cdot (-3) + (-4) \cdot (-4) + 0 \cdot (5\sqrt{3}) = 9 + 16 + 0 = 25$.

Ответ: 25

в) Косинус угла $\varphi$ между прямыми $A_1D$ и $AC$ равен косинусу угла между их направляющими векторами $\vec{A_1D}$ и $\vec{AC}$.

Направляющими векторами служат векторы $\vec{A_1D}\{0; 4; -5\sqrt{3}\}$ и $\vec{AC}\{3; 4; 0\}$.

Косинус угла между векторами вычисляется по формуле:

$\cos \varphi = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$

Скалярное произведение: $\vec{A_1D} \cdot \vec{AC} = 0 \cdot 3 + 4 \cdot 4 + (-5\sqrt{3}) \cdot 0 = 16$.

Длины векторов:

$|\vec{A_1D}| = \sqrt{0^2 + 4^2 + (-5\sqrt{3})^2} = \sqrt{16 + 25 \cdot 3} = \sqrt{16+75} = \sqrt{91}$.

$|\vec{AC}| = \sqrt{3^2 + 4^2 + 0^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$.

Поэтому,

$\cos \varphi = \frac{|16|}{\sqrt{91} \cdot 5} = \frac{16}{5\sqrt{91}}$.

Для избавления от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{91}$:

$\cos \varphi = \frac{16\sqrt{91}}{5 \cdot 91} = \frac{16\sqrt{91}}{455}$.

Ответ: $\frac{16\sqrt{91}}{455}$

г) Синус угла $\alpha$ между прямой $CA_1$ и плоскостью $ABC$ равен модулю косинуса угла $\beta$ между направляющим вектором прямой $\vec{CA_1}$ и вектором нормали к плоскости $\vec{n}$.

Плоскость $ABC$ — это координатная плоскость $z=0$. Вектор $\vec{AA_1}$ перпендикулярен этой плоскости, поэтому его можно взять в качестве вектора нормали $\vec{n} = \vec{AA_1} = \{0; 0; 5\sqrt{3}\}$.

Направляющий вектор прямой $CA_1$ — это $\vec{CA_1}\{-3; -4; 5\sqrt{3}\}$.

$\sin \alpha = |\cos\beta| = \frac{|\vec{CA_1} \cdot \vec{AA_1}|}{|\vec{CA_1}| \cdot |\vec{AA_1}|}$.

Скалярное произведение: $|\vec{CA_1} \cdot \vec{AA_1}| = |(-3)\cdot0 + (-4)\cdot0 + (5\sqrt{3})\cdot(5\sqrt{3})| = |75| = 75$.

Длины векторов:

$|\vec{CA_1}| = \sqrt{(-3)^2 + (-4)^2 + (5\sqrt{3})^2} = \sqrt{9+16+75} = \sqrt{100} = 10$.

$|\vec{AA_1}| = \sqrt{0^2 + 0^2 + (5\sqrt{3})^2} = \sqrt{75} = 5\sqrt{3}$.

Тогда синус угла:

$\sin \alpha = \frac{75}{10 \cdot 5\sqrt{3}} = \frac{75}{50\sqrt{3}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

д) Длина диагонали $A_1C$ равна модулю (длине) вектора $\vec{A_1C}$ или $\vec{CA_1}$.

Мы уже вычислили длину вектора $\vec{CA_1}$ в предыдущем пункте.

$A_1C = |\vec{CA_1}| = \sqrt{(-3)^2 + (-4)^2 + (5\sqrt{3})^2} = \sqrt{9+16+75} = \sqrt{100} = 10$.

Ответ: 10