Страница 87 - гдз по геометрии 11 класс рабочая тетрадь Бутузов, Глазков

134 Докажите, что при центральной симметрии прямая, не проходящая через центр симметрии, отображается на параллельную ей прямую. (Задача 720а учебника.)

Доказательство.

1) Рассмотрим центральную симметрию с центром $O$ и произвольную прямую $AB$, не проходящую через точку $O$. Через прямую $AB$ и точку $O$ проходит единственная плоскость, и притом только одна. Обозначим её буквой $\alpha$. Точки $A$ и $B$ переходят при данной симметрии в соответственно $A_1$ и $B_1$, также лежащие в той же плоскости $\alpha$. Поэтому и вся прямая $A_1B_1$ лежит в плоскости $\alpha$.

2) Докажем, что $A_1B_1 || AB$. Так как $\triangle OAB = \triangle OA_1B_1$ (по двум сторонам и углу между ними: $OA = OA_1$, $OB = OB_1$, $\angle AOB = \angle A_1OB_1$), то $\angle ABO = \angle A_1B_1O$. Значит, равны накрест лежащие углы при пересечении прямых $AB$ и $A_1B_1$ секущей $BB_1$. Поэтому $AB || A_1B_1$.

3) Осталось доказать, что при симметрии с центром $O$ прямая $AB$ отображается на прямую $A_1B_1$. Для этого нужно доказать, что при данной симметрии любая точка $M$ прямой $AB$ переходит в некоторую точку прямой $A_1B_1$, и, обратно, произвольная точка $N_1$ прямой $A_1B_1$ симметрична какой-то точке $N$ прямой $AB$.

Рассмотрим произвольную точку $M$ на прямой $AB$, отличную от точки $A$, и проведём прямую $MO$. Она пересекает прямую $A_1B_1$ в точке $M_1$. Тогда $\angle MOA = \angle M_1OA_1$ (вертикальные углы), $\angle MAO = \angle M_1A_1O$ (накрест лежащие углы при пересечении прямых $AB$ и $A_1B_1$ секущей $AA_1$).

Кроме того, $AO = A_1O$ (точки $A$ и $A_1$ симметричны относительно точки $O$). Следовательно, $\triangle MAO = \triangle M_1A_1O$ (по стороне и двум прилежащим к ней углам). Отсюда следует, что $MO = M_1O$, и, значит, точка $M$ при симметрии с центром $O$ переходит в точку $M_1$, лежащую на прямой $A_1B_1$.

Аналогично доказывается, что любая точка $N_1$ прямой $A_1B_1$ симметрична некоторой точке $N$ прямой $AB$.

1) Рассмотрим центральную симметрию с центром $O$ и произвольную прямую $AB$, не проходящую через точку $O$. Через прямую $AB$ и точку $O$ проходит плоскость, и притом только одна. Обозначим её буквой $\alpha$. Точки $A$ и $B$ переходят при данной симметрии в точки $A_1$ и $B_1$, также лежащие в плоскости $\alpha$. Поэтому и вся прямая $A_1B_1$ лежит в плоскости $\alpha$.

Ответ: симметрию, точку, плоскость, одна, точки, плоскости, лежит.

2) Докажем, что $A_1B_1 \parallel$ AB. Так как $\Delta OAB$ = $\Delta OA_1B_1$ (по двум сторонам и углу между ними: $OA = \textbf{OA}_1$, $\textbf{OB} = OB_1$, $\angle AOB = \angle \textbf{A}_1\textbf{OB}_1$), то $\angle ABO = \angle \textbf{OB}_1\textbf{A}_1$. Значит, равны внутренние накрест лежащие углы при пересечении прямых $AB$ и $A_1B_1$ секущей $BB_1$. Поэтому $AB$ $\parallel$ $A_1B_1$.

Ответ: $AB$, $=$, сторонам, углу, $OA_1$, $OB$, $A_1OB_1$, $OB_1A_1$, внутренние накрест, $A_1B_1$, $BB_1$, $\parallel$.

3) Осталось доказать, что при симметрии с центром $O$ прямая $AB$ отображается на прямую $A_1B_1$. Для этого нужно доказать, что при данной симметрии любая точка $M$ прямой $AB$ переходит в некоторую точку прямой $A_1B_1$, и, обратно, произвольная точка $N_1$ прямой $A_1B_1$ симметрична какой-то точке N прямой $AB$.

Рассмотрим произвольную точку $M$ на прямой $AB$, отличную от точки $A$, и проведём прямую $MO$. Она пересекает прямую $A_1B_1$ в точке $M_1$. Тогда $\angle MOA = \angle \textbf{M}_1\textbf{OA}_1$ (вертикальные углы), $\angle MAO = \angle \textbf{M}_1\textbf{A}_1\textbf{O}$ (внутренние накрест лежащие при пересечении параллельных прямых $AB$ и $A_1B_1$ секущей $AA_1$). Кроме того, $AO = \textbf{A}_1\textbf{O}$ (точки $A$ и $A_1$ симметричны относительно точки $O$). Следовательно, $\Delta MAO = \Delta \textbf{M}_1\textbf{A}_1\textbf{O}$ (по стороне и двум прилежащим к ней углам). Отсюда следует, что $MO = \textbf{M}_1\textbf{O}$, и, значит, точка $M$ при симметрии с центром $O$ переходит в точку $M_1$, лежащую на прямой $A_1B_1$.

Аналогично доказывается, что любая точка $N_1$ прямой $A_1B_1$ симметрична некоторой точке $N$ прямой $AB$.

Ответ: отображается, $A_1B_1$, точка, $A_1B_1$, $N$, прямой, прямую, $M_1OA_1$, $M_1A_1O$, внутренние накрест лежащие, параллельных, $AB$, $AA_1$, $A_1O$, симметричны, $M_1A_1O$, и двум прилежащим к ней углам, $M_1O$, $M_1$, точке.