Страница 83 - гдз по геометрии 11 класс рабочая тетрадь Бутузов, Глазков

128 Даны векторы $\vec{a}\{4; 0; 0\}$ и $\vec{b}\{1; 0; -\sqrt{3}\}$. Найдите: а) $\vec{a} \vec{b}$; б) $\vec{b} \vec{a}$;

в) $\vec{a}^2$; г) $|\vec{b}|$; д) $\vec{a} \vec{b}$.

Решение.

а) $\vec{a} \vec{b} = 4 \cdot \_\_\_ + \_\_\_ \cdot \_\_\_ + \_\_\_ \cdot \_\_\_ = \_\_\_$

б) По $\_\_\_$ закону скалярного $\_\_\_$ векторов имеем $\vec{b} \vec{a} = \_\_\_ = \_\_\_$

в) $\vec{a}^2 = \vec{a} \cdot \_\_\_ = 4 \cdot \_\_\_ + \_\_\_ \cdot \_\_\_ + \_\_\_ \cdot \_\_\_ = \_\_\_$

г) $|\vec{b}| = \sqrt{\_\_\_}$, где $\vec{b}^2 = 1^2 + \_\_\_ + (\_\_\_)^2 = \_\_\_$. Следовательно, $|\vec{b}| = \sqrt{\_\_\_} = \_\_\_$

д) $\cos \vec{a} \vec{b} = \frac{4 \cdot \_\_\_ + \_\_\_ \cdot \_\_\_ + \_\_\_ \cdot \_\_\_}{\sqrt{4^2 + \_\_\_ + \_\_\_ \cdot 2}} = \frac{\_\_\_}{4 \cdot \_\_\_} = \_\_\_$

Поэтому $\vec{a} \vec{b} = \_\_\_$

а) Скалярное произведение векторов $\vec{a}\{x_1; y_1; z_1\}$ и $\vec{b}\{x_2; y_2; z_2\}$ находится по формуле: $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2$. Для данных векторов $\vec{a}\{4; 0; 0\}$ и $\vec{b}\{1; 0; -\sqrt{3}\}$ имеем:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 4 \cdot 1 + 0 \cdot 0 + 0 \cdot (-\sqrt{3}) = 4 + 0 + 0 = 4$.
Ответ: 4.

б) Согласно переместительному (коммутативному) закону скалярного произведения, $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$. Поскольку из пункта (а) известно, что $\vec{a} \cdot \vec{b} = 4$, то:
$\vec{b} \cdot \vec{a} = 4$.
Ответ: 4.

в) Скалярный квадрат вектора, $\vec{a}^2$, по определению равен скалярному произведению вектора на себя: $\vec{a}^2 = \vec{a} \cdot \vec{a}$.
$\vec{a}^2 = 4 \cdot 4 + 0 \cdot 0 + 0 \cdot 0 = 16$.
Ответ: 16.

г) Длина (модуль) вектора $|\vec{b}|$ вычисляется как корень квадратный из суммы квадратов его координат: $|\vec{b}| = \sqrt{x_2^2 + y_2^2 + z_2^2}$.
Для вектора $\vec{b}\{1; 0; -\sqrt{3}\}$:
$|\vec{b}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 0 + 3} = \sqrt{4} = 2$.
Ответ: 2.

д) Угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$, обозначаемый $\widehat{\vec{a} \vec{b}}$, находится из формулы скалярного произведения: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos(\widehat{\vec{a} \vec{b}})$.
Отсюда косинус угла равен $\cos(\widehat{\vec{a} \vec{b}}) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$.
Найдем модуль вектора $\vec{a}$:
$|\vec{a}| = \sqrt{4^2 + 0^2 + 0^2} = \sqrt{16} = 4$.
Используя ранее найденные значения $\vec{a} \cdot \vec{b} = 4$ и $|\vec{b}| = 2$, подставляем их в формулу:
$\cos(\widehat{\vec{a} \vec{b}}) = \frac{4}{4 \cdot 2} = \frac{1}{2}$.
Угол, косинус которого равен $\frac{1}{2}$, составляет $60^\circ$ (или $\frac{\pi}{3}$ радиан).
$\widehat{\vec{a} \vec{b}} = 60^\circ$.
Ответ: $60^\circ$.