Страница 79 - гдз по геометрии 11 класс рабочая тетрадь Бутузов, Глазков

119 Докажите, что треугольник ABC, где A($-5$; $5$; $1$), B($-4$; $3$; $0$), C($-5$; $3$; $1$), является прямоугольным.

Доказательство.

Проверим, выполняется ли для данного треугольника условие теоремы, ________ теореме Пифагора. Найдём квадраты ________ треугольника:

$AB^2 = (-4 - (____))^2 + (____)^2 + ____ = 1^2 + ____ + ____ = ____$

$AC^2 = ____$

$BC^2 = ____$

Так как $AC^2 + BC^2 = ____$, то по теореме, обратной теореме ____, треугольник ABC ____ прямоугольным, причём $\angle ____ = 90^\circ$.

Чтобы доказать, что треугольник ABC с вершинами в точках A(-5; 5; 1), B(-4; 3; 0), C(-5; 3; 1) является прямоугольным, необходимо проверить, выполняется ли для него теорема, обратная теореме Пифагора. Согласно этой теореме, если сумма квадратов двух сторон треугольника равна квадрату третьей стороны, то такой треугольник является прямоугольным. Для этого найдем квадраты длин всех сторон треугольника, используя формулу квадрата расстояния между двумя точками $(x_1, y_1, z_1)$ и $(x_2, y_2, z_2)$: $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2$.

$AB^2$
Найдем квадрат длины стороны AB, соединяющей точки A(-5; 5; 1) и B(-4; 3; 0).
$AB^2 = (-4 - (-5))^2 + (3 - 5)^2 + (0 - 1)^2 = (-4 + 5)^2 + (-2)^2 + (-1)^2 = 1^2 + 4 + 1 = 6$.
Ответ: $AB^2 = 6$.

$AC^2$
Найдем квадрат длины стороны AC, соединяющей точки A(-5; 5; 1) и C(-5; 3; 1).
$AC^2 = (-5 - (-5))^2 + (3 - 5)^2 + (1 - 1)^2 = (-5 + 5)^2 + (-2)^2 + 0^2 = 0^2 + 4 + 0 = 4$.
Ответ: $AC^2 = 4$.

$BC^2$
Найдем квадрат длины стороны BC, соединяющей точки B(-4; 3; 0) и C(-5; 3; 1).
$BC^2 = (-5 - (-4))^2 + (3 - 3)^2 + (1 - 0)^2 = (-5 + 4)^2 + 0^2 + 1^2 = (-1)^2 + 0 + 1 = 1 + 1 = 2$.
Ответ: $BC^2 = 2$.

Доказательство
Теперь проверим, выполняется ли равенство $AC^2 + BC^2 = AB^2$.
Подставим найденные значения в левую часть равенства:
$AC^2 + BC^2 = 4 + 2 = 6$.
Правая часть равенства: $AB^2 = 6$.
Поскольку $6 = 6$, равенство $AC^2 + BC^2 = AB^2$ выполняется.
Так как сумма квадратов длин сторон AC и BC равна квадрату длины стороны AB, то по теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник ABC является прямоугольным. Наибольшая сторона AB является гипотенузой, а противолежащий ей угол C — прямым.
Ответ: Треугольник ABC является прямоугольным с прямым углом $\angle C = 90°$, что и требовалось доказать.

120 Напишите уравнение сферы с центром в точке P(−1; 3; 5) и радиусом $ \frac{9}{4} $.

Решение.

$(x \text{___})^2 + (y \text{___})^2 + (z \text{___})^2 = \text{___}$

Решение.

Стандартное уравнение сферы в трехмерном пространстве с центром в точке с координатами $(x_0, y_0, z_0)$ и радиусом $R$ задается формулой:
$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$

В условии задачи даны:

• Координаты центра сферы: точка $P(-1; 3; 5)$. Таким образом, $x_0 = -1$, $y_0 = 3$, $z_0 = 5$.
• Радиус сферы: $R = \frac{9}{4}$.

Подставим значения координат центра в уравнение:
$(x - (-1))^2 + (y - 3)^2 + (z - 5)^2 = R^2$
$(x + 1)^2 + (y - 3)^2 + (z - 5)^2 = R^2$

Теперь вычислим квадрат радиуса:
$R^2 = (\frac{9}{4})^2 = \frac{9^2}{4^2} = \frac{81}{16}$

Подставив значение $R^2$ в уравнение, получим окончательный вид уравнения сферы:
$(x + 1)^2 + (y - 3)^2 + (z - 5)^2 = \frac{81}{16}$

Ответ: $(x + 1)^2 + (y - 3)^2 + (z - 5)^2 = \frac{81}{16}$

121 Напишите уравнение сферы с центром в точке P(2; 3; -3), проходящей через точку M(2; -1; 1).

Решение.

$R = PM = \text{_______________________}$. Уравнение сферы имеет вид $(x - \text{____})^2 + (y - \text{____})^2 + (z + \text{____})^2 = \text{____}$

Решение.

Для написания уравнения сферы необходимо знать координаты ее центра и ее радиус. Центр сферы дан по условию — это точка $P(2; 3; -3)$. Радиус $R$ сферы равен расстоянию от центра до любой точки, лежащей на сфере. Поскольку сфера проходит через точку $M(2; -1; 1)$, ее радиус будет равен расстоянию $PM$.

Вычислим расстояние между точками $P(x_p; y_p; z_p)$ и $M(x_m; y_m; z_m)$ по формуле: $R = PM = \sqrt{(x_m-x_p)^2 + (y_m-y_p)^2 + (z_m-z_p)^2}$

Подставим координаты точек $P(2; 3; -3)$ и $M(2; -1; 1)$: $R = \sqrt{(2-2)^2 + (-1-3)^2 + (1-(-3))^2} = \sqrt{0^2 + (-4)^2 + (1+3)^2} = \sqrt{0 + 16 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32}$.

Общее уравнение сферы с центром в точке $(x_0; y_0; z_0)$ и радиусом $R$ имеет вид: $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$.

Подставим координаты центра $P(2; 3; -3)$ и квадрат радиуса $R^2 = (\sqrt{32})^2 = 32$ в это уравнение: $(x - 2)^2 + (y - 3)^2 + (z - (-3))^2 = 32$

Таким образом, уравнение искомой сферы: $(x - 2)^2 + (y - 3)^2 + (z + 3)^2 = 32$.

Ответ: $(x - 2)^2 + (y - 3)^2 + (z + 3)^2 = 32$.

122 Напишите уравнение сферы с диаметром $MN$, если $M(-3; 5; 0)$, $N(1; -7; -2)$.

Решение.

Пусть $C(x_0; y_0; z_0)$ — центр искомой сферы. Так как точка $C$ — середина отрезка $MN$, то $x_0 = \frac{\rule{0.5cm}{0.15mm}}{2} = \rule{0.5cm}{0.15mm}$; $y_0 = \rule{0.5cm}{0.15mm} = \rule{0.5cm}{0.15mm}$; $z_0 = \rule{0.5cm}{0.15mm} = \rule{0.5cm}{0.15mm}$; $C (\rule{1.5cm}{0.15mm})$. Радиус сферы равен отрезку $CM$, поэтому

$R=\sqrt{(\rule{1.5cm}{0.15mm})^2+(\rule{1.5cm}{0.15mm})^2+(\rule{1.5cm}{0.15mm})^2}=\rule{1cm}{0.15mm}$

Итак, уравнение сферы имеет вид

$(x \rule{1.5cm}{0.15mm})^2 + (y \rule{1.5cm}{0.15mm})^2 + (z \rule{1.5cm}{0.15mm})^2 = \rule{1cm}{0.15mm}$

Уравнение сферы в общем виде записывается как $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$, где $(x_0; y_0; z_0)$ — координаты центра сферы, а $R$ — ее радиус. Для решения задачи необходимо найти центр и радиус данной сферы.

1. Нахождение координат центра сферы.

По условию, отрезок $MN$ является диаметром сферы. Следовательно, центр сферы $C(x_0; y_0; z_0)$ находится в середине этого отрезка. Координаты середины отрезка вычисляются как полусумма соответствующих координат его концов.

Используя координаты точек $M(-3; 5; 0)$ и $N(1; -7; -2)$, найдем координаты центра $C$:

$x_0 = \frac{x_M + x_N}{2} = \frac{-3 + 1}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

$y_0 = \frac{y_M + y_N}{2} = \frac{5 + (-7)}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

$z_0 = \frac{z_M + z_N}{2} = \frac{0 + (-2)}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

Таким образом, центр сферы — точка $C(-1; -1; -1)$.

2. Нахождение радиуса сферы.

Радиус $R$ сферы равен расстоянию от ее центра до любой точки на сфере. Найдем расстояние от центра $C(-1; -1; -1)$ до точки $M(-3; 5; 0)$, которое и будет радиусом.

Расстояние между двумя точками в пространстве вычисляется по формуле: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$

$R = CM = \sqrt{(-3 - (-1))^2 + (5 - (-1))^2 + (0 - (-1))^2} = \sqrt{(-3 + 1)^2 + (5 + 1)^2 + (0 + 1)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 6^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 36 + 1} = \sqrt{41}$

Итак, радиус сферы $R = \sqrt{41}$.

3. Составление уравнения сферы.

Теперь, зная координаты центра $C(-1; -1; -1)$ и радиус $R = \sqrt{41}$, подставим эти значения в общую формулу уравнения сферы. Квадрат радиуса равен $R^2 = (\sqrt{41})^2 = 41$.

$(x - (-1))^2 + (y - (-1))^2 + (z - (-1))^2 = 41$

$(x + 1)^2 + (y + 1)^2 + (z + 1)^2 = 41$

Ответ: $(x + 1)^2 + (y + 1)^2 + (z + 1)^2 = 41$