Номер 122, страница 79 - гдз по геометрии 11 класс рабочая тетрадь Бутузов, Глазков

7.1. Координаты точки и координаты вектора - номер 122, страница 79.

122 Напишите уравнение сферы с диаметром $MN$, если $M(-3; 5; 0)$, $N(1; -7; -2)$.

Решение.

Пусть $C(x_0; y_0; z_0)$ — центр искомой сферы. Так как точка $C$ — середина отрезка $MN$, то $x_0 = \frac{\rule{0.5cm}{0.15mm}}{2} = \rule{0.5cm}{0.15mm}$; $y_0 = \rule{0.5cm}{0.15mm} = \rule{0.5cm}{0.15mm}$; $z_0 = \rule{0.5cm}{0.15mm} = \rule{0.5cm}{0.15mm}$; $C (\rule{1.5cm}{0.15mm})$. Радиус сферы равен отрезку $CM$, поэтому

$R=\sqrt{(\rule{1.5cm}{0.15mm})^2+(\rule{1.5cm}{0.15mm})^2+(\rule{1.5cm}{0.15mm})^2}=\rule{1cm}{0.15mm}$

Итак, уравнение сферы имеет вид

$(x \rule{1.5cm}{0.15mm})^2 + (y \rule{1.5cm}{0.15mm})^2 + (z \rule{1.5cm}{0.15mm})^2 = \rule{1cm}{0.15mm}$

Уравнение сферы в общем виде записывается как $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$, где $(x_0; y_0; z_0)$ — координаты центра сферы, а $R$ — ее радиус. Для решения задачи необходимо найти центр и радиус данной сферы.

1. Нахождение координат центра сферы.

По условию, отрезок $MN$ является диаметром сферы. Следовательно, центр сферы $C(x_0; y_0; z_0)$ находится в середине этого отрезка. Координаты середины отрезка вычисляются как полусумма соответствующих координат его концов.

Используя координаты точек $M(-3; 5; 0)$ и $N(1; -7; -2)$, найдем координаты центра $C$:

$x_0 = \frac{x_M + x_N}{2} = \frac{-3 + 1}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

$y_0 = \frac{y_M + y_N}{2} = \frac{5 + (-7)}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

$z_0 = \frac{z_M + z_N}{2} = \frac{0 + (-2)}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

Таким образом, центр сферы — точка $C(-1; -1; -1)$.

2. Нахождение радиуса сферы.

Радиус $R$ сферы равен расстоянию от ее центра до любой точки на сфере. Найдем расстояние от центра $C(-1; -1; -1)$ до точки $M(-3; 5; 0)$, которое и будет радиусом.

Расстояние между двумя точками в пространстве вычисляется по формуле: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$

$R = CM = \sqrt{(-3 - (-1))^2 + (5 - (-1))^2 + (0 - (-1))^2} = \sqrt{(-3 + 1)^2 + (5 + 1)^2 + (0 + 1)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 6^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 36 + 1} = \sqrt{41}$

Итак, радиус сферы $R = \sqrt{41}$.

3. Составление уравнения сферы.

Теперь, зная координаты центра $C(-1; -1; -1)$ и радиус $R = \sqrt{41}$, подставим эти значения в общую формулу уравнения сферы. Квадрат радиуса равен $R^2 = (\sqrt{41})^2 = 41$.

$(x - (-1))^2 + (y - (-1))^2 + (z - (-1))^2 = 41$

$(x + 1)^2 + (y + 1)^2 + (z + 1)^2 = 41$

Ответ: $(x + 1)^2 + (y + 1)^2 + (z + 1)^2 = 41$