Номер 127, страница 82 - гдз по геометрии 11 класс рабочая тетрадь Бутузов, Глазков

7.2. Скалярное произведение векторов - номер 127, страница 82.

127 Отрезок $MH$ — высота правильного тетраэдра $MABC$ с ребром, равным 2 см. Вычислите скалярное произведение векторов:

а) $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$; б) $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$; в) $\vec{BC}$ и $\vec{AC}$; г) $\vec{AB}$ и $\vec{OB}$; д) $\vec{MH}$ и $\vec{AB}$.

Решение.

Все грани правильного тетраэдра — __________ треугольники, поэтому каждый из углов в этих треугольниках равен __________.

а) Векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$ отложены от __________ точки, поэтому этот угол между векторами $\vec{AB}$ и __________ равен углу $BAC$, т. е. __________.

$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_$. Отсюда получаем $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 2 \cdot \_\_\_\_\_\_\_\_ \cdot \cos \_\_\_\_\_\_\_\_ = 4 \cdot \_\_\_\_\_\_\_\_ = \_\_\_\_\_\_\_\_.$

б) Отложим от точки $B$ вектор $\vec{BA}_1 = \vec{AB}$ (выполните построение на рисунке). Тогда угол между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$ будет равен углу __________ . Так как углы $A_1BC$ и $ABC$ __________ , то $\angle A_1BC = 180^{\circ} - \_\_\_\_\_\_\_\_ = \_\_\_\_\_\_\_\_$. Поэтому $\vec{AB} \cdot \vec{BC} = \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \cdot \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \cdot \cos \_\_\_\_\_\_\_\_ = \_\_\_\_\_\_\_\_ = \_\_\_\_\_\_\_\_.$

в) Отложим от точки $C$ векторы $\vec{CB}_2 = \vec{BC}$ и $\vec{CA}_2 = \vec{AC}$ (выполните построение на рисунке). Угол между векторами $\vec{BC}$ и $\vec{AC}$ равен углу __________ . Так как углы $A_2CB_2$ и $ACB$ __________ , то $\angle A_2CB_2 = \angle \_\_\_\_\_\_\_\_ = \_\_\_\_\_\_\_\_$. Следовательно, $\vec{AB} \cdot \vec{BC} = \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \cdot \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \cdot \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ = \_\_\_\_\_\_\_\_ = \_\_\_\_\_\_\_\_.$

г) Векторы $\vec{AB}$ и $\vec{OB}$ __________ , поэтому угол между ними равен __________ . Следовательно, $\vec{AB} \cdot \vec{OB} = \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.$

д) Так как отрезок $MH$ является __________ основания тетраэдра, поэтому точка $H$ лежит на __________ треугольника $ABC$, и, значит, $CO \perp \_\_\_\_\_\_\_\_$. Поскольку прямая $CO$ является проекцией прямой __________ на плоскость $ABC$ и $CO \perp \_\_\_\_\_\_\_\_$, то по теореме о трёх __________ $CM \perp \_\_\_\_\_\_\_\_$. Следовательно, $\vec{AB} \cdot \vec{CM} = \_\_\_\_\_\_\_\_$. Поэтому $\vec{AB} \cdot \vec{CM} = \_\_\_\_\_\_\_\_ = \_\_\_\_\_\_\_\_ = \_\_\_\_\_\_\_\_.$

Так как отрезок $MH$ — __________ тетраэдра, то $MH$ __________ $ABC$. Следовательно, по определению прямой, __________ к __________ плоскости, прямая $MH$ __________ $\vec{AB}$. Поэтому $\vec{MH} \cdot \vec{AB} = \_\_\_\_\_\_\_\_.$

Ответ. а) __________; б) __________; в) __________; г) __________; д) __________.

По условию задачи, MABC – правильный тетраэдр. Это означает, что все его грани являются равносторонними треугольниками. Длина каждого ребра равна 2 см. Все углы в гранях-треугольниках равны $60^\circ$.

а) Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$.

Векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$ отложены от одной точки А. Поэтому угол между ними равен углу $\angle BAC$ в равностороннем треугольнике ABC.

$\angle(\vec{AB}, \vec{AC}) = \angle BAC = 60^\circ$.

Скалярное произведение векторов равно произведению их длин на косинус угла между ними:

$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = |\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}| \cdot \cos(\angle(\vec{AB}, \vec{AC}))$

$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 2 \cdot 2 \cdot \cos(60^\circ) = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2$.

Ответ: 2

б) Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$.

Векторы имеют разные начальные точки. Чтобы найти угол между ними, приведем их к общему началу. Отложим от точки B вектор $\vec{BA_1} = \vec{AB}$. Тогда угол между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$ будет равен углу между векторами $\vec{BA_1}$ и $\vec{BC}$, то есть $\angle A_1BC$.

Угол $\angle A_1BC$ и угол $\angle ABC$ являются смежными, так как вектор $\vec{BA_1}$ противоположен вектору $\vec{BA}$.

Следовательно, $\angle A_1BC = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

$\vec{AB} \cdot \vec{BC} = |\vec{AB}| \cdot |\vec{BC}| \cdot \cos(120^\circ) = 2 \cdot 2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -2$.

Ответ: -2

в) Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{BC}$ и $\vec{AC}$.

Векторы имеют общую конечную точку C. Угол между векторами $\vec{BC}$ и $\vec{AC}$ равен углу между векторами $(-\vec{CB})$ и $(-\vec{CA})$. Этот угол равен углу между векторами $\vec{CB}$ и $\vec{CA}$, то есть $\angle BCA$.

$\angle(\vec{BC}, \vec{AC}) = \angle BCA = 60^\circ$.

$\vec{BC} \cdot \vec{AC} = |\vec{BC}| \cdot |\vec{AC}| \cdot \cos(60^\circ) = 2 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} = 2$.

Ответ: 2

г) Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{AB}$ и $\vec{OB}$.

Судя по рисунку, точка O — середина ребра AC. В равностороннем треугольнике ABC медиана BO является также высотой и биссектрисой.

Длина медианы BO в равностороннем треугольнике со стороной $a=2$ равна $BO = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$.

Так как BO — биссектриса угла $\angle ABC$, то $\angle ABO = \frac{1}{2} \angle ABC = \frac{1}{2} \cdot 60^\circ = 30^\circ$.

Угол между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{OB}$ равен углу между векторами $(-\vec{BA})$ и $(-\vec{BO})$. Этот угол равен углу между векторами $\vec{BA}$ и $\vec{BO}$, то есть $\angle ABO = 30^\circ$.

$\vec{AB} \cdot \vec{OB} = |\vec{AB}| \cdot |\vec{OB}| \cdot \cos(30^\circ) = 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3$.

Ответ: 3

д) Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{AB}$ и $\vec{CM}$.

Так как MH — высота правильного тетраэдра, опущенная на основание ABC, то точка H является центром треугольника ABC (точкой пересечения медиан, высот и биссектрис). Пусть O — середина ребра AB. Тогда медиана CO проходит через точку H. Таким образом, прямая CO является ортогональной проекцией наклонной CM на плоскость ABC.

В равностороннем треугольнике ABC медиана CO также является высотой, поэтому $CO \perp AB$.

По теореме о трёх перпендикулярах, если проекция наклонной (CO) перпендикулярна прямой в плоскости (AB), то и сама наклонная (CM) перпендикулярна этой прямой. Следовательно, $CM \perp AB$.

Угол между прямыми CM и AB равен $90^\circ$.

$\vec{AB} \cdot \vec{CM} = |\vec{AB}| \cdot |\vec{CM}| \cdot \cos(90^\circ) = 2 \cdot 2 \cdot 0 = 0$.

Ответ: 0

е) Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{MH}$ и $\vec{AB}$.

Отрезок MH является высотой тетраэдра, опущенной на основание ABC. По определению высоты, прямая MH перпендикулярна плоскости основания (ABC).

По определению прямой, перпендикулярной плоскости, она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Прямая AB лежит в плоскости ABC, следовательно, $MH \perp AB$.

Угол между векторами $\vec{MH}$ и $\vec{AB}$ равен $90^\circ$.

$\vec{MH} \cdot \vec{AB} = |\vec{MH}| \cdot |\vec{AB}| \cdot \cos(90^\circ) = 0$.

Ответ: 0