Номер 123, страница 80 - гдз по геометрии 11 класс рабочая тетрадь Бутузов, Глазков

7.1. Координаты точки и координаты вектора - номер 123, страница 80.

123 Найдите координаты центра C и радиус R сферы, заданной уравнением:

а) $x^2 + y^2 + z^2 = \frac{7}{2}$;

б) $(x + 2)^2 + (y - 4)^2 + z^2 = 13$;

в) $(x - 3)^2 + (y - 2)^2 + (z + 8)^2 = 25$.

Решение.

а) C(________), R = ________

б) C(________), R = ________

в) C(________), R = ________

Стандартное уравнение сферы с центром в точке $C(x_0; y_0; z_0)$ и радиусом $R$ имеет вид:

$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$

Чтобы найти координаты центра и радиус, необходимо привести каждое из данных уравнений к этому стандартному виду.

а) Дано уравнение: $x^2 + y^2 + z^2 = \frac{7}{2}$.
Это уравнение можно представить в стандартном виде как $(x - 0)^2 + (y - 0)^2 + (z - 0)^2 = \frac{7}{2}$.
Сравнивая с общим уравнением, находим координаты центра: $x_0 = 0$, $y_0 = 0$, $z_0 = 0$. Таким образом, центр сферы $C(0; 0; 0)$.
Квадрат радиуса $R^2 = \frac{7}{2}$.
Следовательно, радиус $R = \sqrt{\frac{7}{2}} = \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{14}}{2}$.
Ответ: $C(0; 0; 0)$, $R = \frac{\sqrt{14}}{2}$.

б) Дано уравнение: $(x + 2)^2 + (y - 4)^2 + z^2 = 13$.
Перепишем уравнение в стандартном виде: $(x - (-2))^2 + (y - 4)^2 + (z - 0)^2 = 13$.
Сравнивая с общим уравнением, находим координаты центра: $x_0 = -2$, $y_0 = 4$, $z_0 = 0$. Таким образом, центр сферы $C(-2; 4; 0)$.
Квадрат радиуса $R^2 = 13$.
Следовательно, радиус $R = \sqrt{13}$.
Ответ: $C(-2; 4; 0)$, $R = \sqrt{13}$.

в) Дано уравнение: $(x - 3)^2 + (y - 2)^2 + (z + 8)^2 = 25$.
Перепишем уравнение в стандартном виде: $(x - 3)^2 + (y - 2)^2 + (z - (-8))^2 = 25$.
Сравнивая с общим уравнением, находим координаты центра: $x_0 = 3$, $y_0 = 2$, $z_0 = -8$. Таким образом, центр сферы $C(3; 2; -8)$.
Квадрат радиуса $R^2 = 25$.
Следовательно, радиус $R = \sqrt{25} = 5$.
Ответ: $C(3; 2; -8)$, $R = 5$.