Страница 80 - гдз по геометрии 11 класс рабочая тетрадь Бутузов, Глазков

123 Найдите координаты центра C и радиус R сферы, заданной уравнением:

а) $x^2 + y^2 + z^2 = \frac{7}{2}$;

б) $(x + 2)^2 + (y - 4)^2 + z^2 = 13$;

в) $(x - 3)^2 + (y - 2)^2 + (z + 8)^2 = 25$.

Решение.

а) C(________), R = ________

б) C(________), R = ________

в) C(________), R = ________

Стандартное уравнение сферы с центром в точке $C(x_0; y_0; z_0)$ и радиусом $R$ имеет вид:

$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$

Чтобы найти координаты центра и радиус, необходимо привести каждое из данных уравнений к этому стандартному виду.

а) Дано уравнение: $x^2 + y^2 + z^2 = \frac{7}{2}$.
Это уравнение можно представить в стандартном виде как $(x - 0)^2 + (y - 0)^2 + (z - 0)^2 = \frac{7}{2}$.
Сравнивая с общим уравнением, находим координаты центра: $x_0 = 0$, $y_0 = 0$, $z_0 = 0$. Таким образом, центр сферы $C(0; 0; 0)$.
Квадрат радиуса $R^2 = \frac{7}{2}$.
Следовательно, радиус $R = \sqrt{\frac{7}{2}} = \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{14}}{2}$.
Ответ: $C(0; 0; 0)$, $R = \frac{\sqrt{14}}{2}$.

б) Дано уравнение: $(x + 2)^2 + (y - 4)^2 + z^2 = 13$.
Перепишем уравнение в стандартном виде: $(x - (-2))^2 + (y - 4)^2 + (z - 0)^2 = 13$.
Сравнивая с общим уравнением, находим координаты центра: $x_0 = -2$, $y_0 = 4$, $z_0 = 0$. Таким образом, центр сферы $C(-2; 4; 0)$.
Квадрат радиуса $R^2 = 13$.
Следовательно, радиус $R = \sqrt{13}$.
Ответ: $C(-2; 4; 0)$, $R = \sqrt{13}$.

в) Дано уравнение: $(x - 3)^2 + (y - 2)^2 + (z + 8)^2 = 25$.
Перепишем уравнение в стандартном виде: $(x - 3)^2 + (y - 2)^2 + (z - (-8))^2 = 25$.
Сравнивая с общим уравнением, находим координаты центра: $x_0 = 3$, $y_0 = 2$, $z_0 = -8$. Таким образом, центр сферы $C(3; 2; -8)$.
Квадрат радиуса $R^2 = 25$.
Следовательно, радиус $R = \sqrt{25} = 5$.
Ответ: $C(3; 2; -8)$, $R = 5$.

124 Докажите, что данное уравнение является уравнением сферы, и найдите координаты центра и радиус этой сферы:

а) $x^2 - 8x + y^2 + z^2 - 16 = 0;$

б) $x^2 - 6x + 2y + z^2 + y^2 - 10z = 14.$

Решение.

а) Уравнение $x^2 - 8x + y^2 + z^2 - 16 = 0$ можно записать в виде $x^2 - 8x + 16 + y^2 + z^2 = 32$ или $(x \underline{\hspace{0.5em}})^2 + (y \underline{\hspace{0.5em}})^2 + (z \underline{\hspace{0.5em}})^2 = \underline{\hspace{3em}}$, поэтому оно является уравнением сферы с центром $C(\underline{\hspace{3em}})$ и радиусом $R = \underline{\hspace{1.5em}}$

б) Уравнение $x^2 - 6x + 2y + z^2 + y^2 - 10z = 14$ можно записать в виде $(x^2 - 6x + 9) + (y^2 + 2y + 1) + (z^2 - 10z \underline{\hspace{0.5em}} ) = \underline{\hspace{3em}}$ или $(x + \underline{\hspace{0.5em}})^2 + (y + \underline{\hspace{0.5em}})^2 + (z + \underline{\hspace{0.5em}})^2 = \underline{\hspace{3em}}$, поэтому оно является уравнением сферы с центром $C(\underline{\hspace{3em}})$ и радиусом $R = \underline{\hspace{1.5em}}$

а) $x^2 - 8x + y^2 + z^2 - 16 = 0$

Для того чтобы доказать, что данное уравнение является уравнением сферы, необходимо привести его к стандартному виду $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$, где $(x_0, y_0, z_0)$ — координаты центра сферы, а $R$ — ее радиус.

Сначала перенесем свободный член в правую часть уравнения:

$x^2 - 8x + y^2 + z^2 = 16$.

Теперь выделим полный квадрат для переменной $x$. Для этого воспользуемся формулой квадрата разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. В нашем случае $a^2 = x^2$ и $2ab = 8x$, откуда $a=x$ и $b=4$. Нам не хватает $b^2 = 4^2 = 16$. Добавим 16 к обеим частям уравнения:

$(x^2 - 8x + 16) + y^2 + z^2 = 16 + 16$.

Свернем выражение в скобках в полный квадрат и упростим правую часть:

$(x - 4)^2 + y^2 + z^2 = 32$.

Полученное уравнение является каноническим уравнением сферы. Его можно записать в виде $(x - 4)^2 + (y - 0)^2 + (z - 0)^2 = (\sqrt{32})^2$.

Сравнивая с общей формулой, находим координаты центра $C(x_0; y_0; z_0)$ и радиус $R$:

Центр сферы: $C(4; 0; 0)$.

Радиус сферы: $R = \sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}$.

Ответ: Уравнение является уравнением сферы с центром в точке C(4; 0; 0) и радиусом $R = 4\sqrt{2}$.

б) $x^2 - 6x + 2y + z^2 + y^2 - 10z = 14$

Сгруппируем слагаемые по переменным, чтобы привести уравнение к стандартному виду:

$(x^2 - 6x) + (y^2 + 2y) + (z^2 - 10z) = 14$.

Теперь последовательно выделим полные квадраты для каждой переменной, добавляя необходимые числа к обеим частям уравнения.

1. Для $x$: выражение $x^2 - 6x$. Чтобы получить полный квадрат $(x-3)^2 = x^2 - 6x + 9$, нужно добавить $3^2 = 9$.

2. Для $y$: выражение $y^2 + 2y$. Чтобы получить полный квадрат $(y+1)^2 = y^2 + 2y + 1$, нужно добавить $1^2 = 1$.

3. Для $z$: выражение $z^2 - 10z$. Чтобы получить полный квадрат $(z-5)^2 = z^2 - 10z + 25$, нужно добавить $5^2 = 25$.

Добавим эти числа (9, 1, и 25) к обеим частям исходного уравнения:

$(x^2 - 6x + 9) + (y^2 + 2y + 1) + (z^2 - 10z + 25) = 14 + 9 + 1 + 25$.

Свернем левую часть в полные квадраты и вычислим правую часть:

$(x - 3)^2 + (y + 1)^2 + (z - 5)^2 = 49$.

Полученное уравнение является каноническим уравнением сферы. Его можно записать в виде $(x - 3)^2 + (y - (-1))^2 + (z - 5)^2 = 7^2$.

Сравнивая с общей формулой, находим координаты центра $C(x_0; y_0; z_0)$ и радиус $R$:

Центр сферы: $C(3; -1; 5)$.

Радиус сферы: $R = \sqrt{49} = 7$.

Ответ: Уравнение является уравнением сферы с центром в точке C(3; -1; 5) и радиусом $R = 7$.