Страница 81 - гдз по геометрии 11 класс рабочая тетрадь Бутузов, Глазков

125 Напишите уравнение сферы, радиус которой равен единице, если известно, что сфера проходит через точки $O(0; 0; 0)$, $A(0; 1; 0)$, $B(0; 0; -1)$.

Решение.

Уравнение сферы имеет вид $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2 = 1$.

Так как координаты данных точек должны удовлетворять этому уравнению, то, подставляя их в уравнение, получаем следующую систему:

$\begin{cases} x_0^2 + y_0^2 + z_0^2 = 1 \\ x_0^2 + (1 - y_0)^2 + z_0^2 = 1 \\ x_0^2 + y_0^2 + (-1 - z_0)^2 = 1 \end{cases}$

Вычитая из первого уравнения второе, получаем $2y_0 = 0$, т. е. $y_0 = 0$, а вычитая из третьего уравнения первое, находим $z_0 = -\frac{1}{2}$.

Подставив найденные значения $y_0$ и $z_0$ в первое уравнение, найдём $x_0$:

$x_0 = \pm \frac{1}{2}$

Следовательно, уравнение сферы имеет вид (два решения)

$(x - \frac{1}{2})^2 + (y - 0)^2 + (z + \frac{1}{2})^2 = 1$

и

$(x + \frac{1}{2})^2 + (y - 0)^2 + (z + \frac{1}{2})^2 = 1$

Решение.

Общее уравнение сферы с центром в точке $(x_0, y_0, z_0)$ и радиусом $R$ имеет вид:

$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$

По условию задачи радиус $R = 1$, следовательно, $R^2 = 1$. Уравнение принимает вид:

$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = 1$

Так как сфера проходит через точки O(0; 0; 0), A(0; 1; 0) и B(0; 0; -1), их координаты должны удовлетворять уравнению сферы. Подставим координаты этих точек в уравнение, чтобы найти центр $(x_0, y_0, z_0)$.

Для точки O(0; 0; 0): $(0 - x_0)^2 + (0 - y_0)^2 + (0 - z_0)^2 = 1 \implies x_0^2 + y_0^2 + z_0^2 = 1$ (1)

Для точки A(0; 1; 0): $(0 - x_0)^2 + (1 - y_0)^2 + (0 - z_0)^2 = 1 \implies x_0^2 + (1 - y_0)^2 + z_0^2 = 1$ (2)

Для точки B(0; 0; -1): $(0 - x_0)^2 + (0 - y_0)^2 + (-1 - z_0)^2 = 1 \implies x_0^2 + y_0^2 + (-1 - z_0)^2 = 1$ (3)

Получаем систему из трех уравнений:

$\begin{cases} x_0^2 + y_0^2 + z_0^2 = 1 \\ x_0^2 + (1 - y_0)^2 + z_0^2 = 1 \\ x_0^2 + y_0^2 + (-1 - z_0)^2 = 1 \end{cases}$

Вычтем уравнение (2) из уравнения (1):

$(x_0^2 + y_0^2 + z_0^2) - (x_0^2 + (1 - y_0)^2 + z_0^2) = 1 - 1$

$y_0^2 - (1 - y_0)^2 = 0 \implies y_0^2 - (1 - 2y_0 + y_0^2) = 0 \implies 2y_0 - 1 = 0 \implies y_0 = \frac{1}{2}$.

Вычтем уравнение (1) из уравнения (3):

$(x_0^2 + y_0^2 + (-1 - z_0)^2) - (x_0^2 + y_0^2 + z_0^2) = 1 - 1$

$(-1 - z_0)^2 - z_0^2 = 0 \implies (1 + 2z_0 + z_0^2) - z_0^2 = 0 \implies 1 + 2z_0 = 0 \implies z_0 = -\frac{1}{2}$.

Подставим найденные значения $y_0 = \frac{1}{2}$ и $z_0 = -\frac{1}{2}$ в уравнение (1), чтобы найти $x_0$:

$x_0^2 + (\frac{1}{2})^2 + (-\frac{1}{2})^2 = 1$

$x_0^2 + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = 1$

$x_0^2 + \frac{1}{2} = 1 \implies x_0^2 = \frac{1}{2} \implies x_0 = \pm\sqrt{\frac{1}{2}} = \pm\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Таким образом, существует два возможных центра сферы: $C_1(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{2}, -\frac{1}{2})$ и $C_2(-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{2}, -\frac{1}{2})$.

Следовательно, получаем два уравнения сферы.

Ответ: $(x - \frac{\sqrt{2}}{2})^2 + (y - \frac{1}{2})^2 + (z + \frac{1}{2})^2 = 1$ и $(x + \frac{\sqrt{2}}{2})^2 + (y - \frac{1}{2})^2 + (z + \frac{1}{2})^2 = 1$.

126 Найдите радиус сечения сферы $x^2 + y^2 + z^2 = 36$ плоскостью, проходящей через точку $M(2; 4; 5)$ и перпендикулярной к оси абсцисс. (Задача 746 учебника.)

Решение.

Центром данной сферы является точка $O(\underline{\hspace{1cm}}; \underline{\hspace{1cm}}; \underline{\hspace{1cm}})$, а её радиус $R$ равен $\underline{\hspace{1cm}}$. Пусть $OO_1$ — перпендикуляр, проведённый из точки $O$ к секущей плоскости. Так как секущая плоскость по условию перпендикулярна к $\underline{\hspace{3cm}}$, то отрезок $OO_1$ лежит на $\underline{\hspace{4cm}}$. Абсцисса любой точки секущей плоскости равна абсциссе данной точки $M$, т. е. равна $\underline{\hspace{1cm}}$. Поэтому $OO_1 = \underline{\hspace{1cm}}$, а искомый радиус $r$ сечения находим по формуле

$r = O_1M = \sqrt{R^2 - \underline{\hspace{3cm}}}$, т. е. $r = \sqrt{\underline{\hspace{4cm}}}$.

Ответ. $\underline{\hspace{2cm}}$

Центром данной сферы, заданной уравнением $x^2 + y^2 + z^2 = 36$, является точка $O(0; 0; 0)$, а её радиус $R$ равен $\sqrt{36} = 6$.

Секущая плоскость проходит через точку $M(2; 4; 5)$ и перпендикулярна оси абсцисс (оси $Ox$). Уравнение плоскости, перпендикулярной оси $Ox$, имеет вид $x=c$. Поскольку плоскость проходит через точку $M$ с абсциссой $2$, ее уравнение — $x=2$.

Расстояние $d$ от центра сферы $O(0; 0; 0)$ до секущей плоскости $x=2$ равно длине перпендикуляра, опущенного из центра на плоскость. Этот перпендикуляр лежит на оси $Ox$, и его длина равна $d=2$.

Радиус сечения $r$, радиус сферы $R$ и расстояние $d$ от центра сферы до плоскости связаны по теореме Пифагора: $R^2 = d^2 + r^2$. Отсюда находим искомый радиус сечения $r$: $r = \sqrt{R^2 - d^2} = \sqrt{6^2 - 2^2} = \sqrt{36 - 4} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$.

Ответ: $4\sqrt{2}$.