Страница 88 - гдз по геометрии 11 класс рабочая тетрадь Бутузов, Глазков

135 Докажите, что при движении прямая отображается на прямую. (Задача 727а учебника.)

Доказательство.

Рассмотрим произвольную прямую $a$. Пусть точки $A$ и $B$, лежащие на прямой $a$, при данном движении $f$ переходят в точки $A_1$ и $B_1$. Докажем, что при этом прямая $a$ отображается на прямую $A_1B_1$, т. е.:

a) каждая точка $M$ прямой $a$ переходит в какую-то точку прямой $A_1B_1$;

b) в каждую точку $M_1$ прямой $A_1B_1$ переходит какая-то точка прямой $a$.

Возьмём произвольную точку $M$ на прямой $a$. Пусть для определённости точка $M$ лежит между точками $A$ и $B$ (при другом расположении точек доказательство аналогично). Тогда $AM + MB = AB$.

Пусть при данном движении $f$ точка $M$ переходит в какую-то точку $M_1$. Поскольку $f$ — движение, то $A_1M_1 = AM$, $M_1B_1 = MB$, $A_1B_1 = AB$. Следовательно, $A_1M_1 + M_1B_1 = AM + MB = AB = A_1B_1$.

Итак, $A_1M_1 + M_1B_1 = A_1B_1$, т. е. точка $M_1$ лежит между точками $A_1$ и $B_1$ (в противном случае согласно неравенству $A_1M_1 - M_1B_1 > A_1B_1$).

b) Аналогично можно доказать, что в каждую точку $M_1$ прямой $A_1B_1$ переходит какая-то точка из $a$.

Таким образом, при движении прямая $a$ отображается на прямую.

Рассмотрим произвольную прямую а. Пусть точки А и В, лежащие на прямой а, при данном движении f переходят в точки А₁ и В₁. Докажем, что при этом прямая а отображается на прямую А₁B₁, т. е.:

а) каждая точка М прямой а переходит в какую-то точку прямой А₁В₁;

б) в каждую точку М₁ прямой А₁В₁ переходит какая-то точка прямой а.

Возьмём произвольную точку М на прямой а. Пусть для определённости точка М лежит между точками А и В (при другом расположении точек доказательство аналогично). Тогда $АМ + МВ = \mathbf{АВ}$.Пусть при данном движении f точка М переходит в какую-то точку М₁. Поскольку f — движение, то $А₁М₁ = \mathbf{АМ}$, $М₁В₁ = \mathbf{МВ}$, $А₁В₁ = \mathbf{АВ}$. Следовательно, $А₁М₁ + М₁В₁ = АМ + \mathbf{МВ} = \mathbf{АВ}$.Итак, $А₁М₁ + \mathbf{М₁B₁} = А₁В₁$, т. е. точка М₁ лежит между точками А₁ и В₁ (в противном случае согласно неравенству треугольника $А₁М₁ \mathbf{+} М₁В₁ > А₁В₁$).

б) Аналогично можно доказать, что в каждую точку М₁ прямой А₁В₁ переходит какая-то точка прямой а.

Таким образом, при движении прямая отображается на прямую.

Ответ: Пропуски в тексте доказательства заполнены. Доказано, что при движении прямая отображается на прямую.