Страница 76 - гдз по геометрии 11 класс рабочая тетрадь Бутузов, Глазков

116 Какие из точек $A(2; -1; -3)$, $B(5; -3; -3)$, $C(1; -1; -1)$, $E(2; -2; -1)$, $H(2; 1; -9)$ лежат в одной плоскости?

Решение.

Если векторы $\vec{AB}$, $\vec{AC}$ и $\vec{AE}$ компланарны, то точки $A$, $B$, и $E$ ___________ в одной плоскости, а если не компланарны, то точки $A$, $B$, ___________ в одной __________.

1) Найдём ___________ координаты этих векторов: $\vec{AB}(3; \underline{\hspace{2cm}}; \underline{\hspace{2cm}})$, $\vec{AC}(\underline{\hspace{2cm}}; 0; \underline{\hspace{2cm}})$, $\vec{AE}(\underline{\hspace{2cm}}; \underline{\hspace{2cm}}; 2)$. Три вектора $\vec{AB}$, $\vec{AC}$ и $\vec{AE}$ компланарны, если один из них ___________ разложить по двум другим, т. е. если существуют ___________ $x$ и $y$, такие, что $\vec{AB} = \underline{\hspace{2cm}} + y\vec{AE}$. Запишем это равенство в координатах:

$\begin{cases} 3 = -1x + \underline{\hspace{2cm}} y \\ -2 = \underline{\hspace{2cm}} \\ 0 = \underline{\hspace{2cm}} \end{cases}$

Из двух первых уравнений системы получаем $x = \underline{\hspace{2cm}}$ и $y = \underline{\hspace{2cm}}$. Подставим эти значения в третье уравнение: $0 = -3 \cdot 2 + \underline{\hspace{2cm}}$. Это равенство неверно, поэтому векторы $\vec{AB}$, $\underline{\hspace{2cm}}$ и $\vec{AE}$ ____________, и, значит, точки $A$, $B$, $C$ и $\underline{\hspace{2cm}}$ в одной плоскости.

2) Выясним, компланарны ли векторы $\vec{AB}$, $\vec{AC}$ и $\vec{AH}$:

$\vec{AB}(3; -2; \underline{\hspace{2cm}})$, $\vec{AC}(\underline{\hspace{2cm}}; 0; 2)$, $\vec{AH}(\underline{\hspace{2cm}}; \underline{\hspace{2cm}}; \underline{\hspace{2cm}})$.

$\begin{cases} 3 = -x + \underline{\hspace{2cm}} \\ -2 = \underline{\hspace{2cm}} \end{cases}$

Из двух первых $\underline{\hspace{2cm}}$ системы получаем $x = \underline{\hspace{2cm}}$ и $y = \underline{\hspace{2cm}}$. Подставим эти значения в третье уравнение: $\underline{\hspace{2cm}} = \underline{\hspace{2cm}}$. Последнее равенство $\underline{\hspace{2cm}}$, поэтому векторы $\vec{AB}$, $\vec{AC}$ и $\underline{\hspace{2cm}}$, и, следовательно, точки $A$, $B$, $C$ и $\underline{\hspace{2cm}}$ в одной плоскости.

Ответ. В одной плоскости лежат точки $\underline{\hspace{2cm}}$.

1) Найдём координаты этих векторов: $\vec{AB}\{3; -2; 0\}$, $\vec{AC}\{-1; 0; 2\}$, $\vec{AE}\{0; -1; 2\}$. Три вектора $\vec{AB}$, $\vec{AC}$ и $\vec{AE}$ компланарны, если один из них можно разложить по двум другим, т. е. если существуют числа $x$ и $y$, такие, что $\vec{AB} = x\vec{AC} + y\vec{AE}$. Запишем это равенство в координатах:

$\begin{cases} 3 = -1x + 0y \\ -2 = -y \\ 0 = 2x+2y \end{cases}$

Из двух первых уравнений системы получаем $x = -3$ и $y = 2$. Подставим эти значения в третье уравнение: $2 \cdot (-3) + 2 \cdot 2 = -2$. Это равенство ($0=-2$) неверно, поэтому векторы $\vec{AB}$, $\vec{AC}$ и $\vec{AE}$ некомпланарны, и, значит, точки A, B, C и E не лежат в одной плоскости.

2) Выясним, компланарны ли векторы $\vec{AB}$, $\vec{AC}$ и $\vec{AH}$: $\vec{AB}\{3; -2; 0\}$, $\vec{AC}\{-1; 0; 2\}$, $\vec{AH}\{0; 2; -6\}$.

$\begin{cases} 3 = -x \\ -2 = 2y \\ 0 = 2x-6y \end{cases}$

Из двух первых уравнений системы получаем $x = -3$ и $y = -1$. Подставим эти значения в третье уравнение: $2(-3) - 6(-1) = -6+6=0$. Последнее равенство ($0=0$) верно, поэтому векторы $\vec{AB}$, $\vec{AC}$ и $\vec{AH}$ компланарны, и, следовательно, точки A, B, C и H лежат в одной плоскости.

Ответ: В одной плоскости лежат точки A, B, C, H.