Страница 71 - гдз по геометрии 11 класс рабочая тетрадь Бутузов, Глазков

104 Разложите векторы $\vec{c}\{-1; 2; -3\}$ и $\vec{p}\{3; 0; -5\}$ по координатным векторам.

Ответ. $\vec{c} = \text{___} \vec{i} + \text{___} - \text{___} ; \vec{p} = 3 \text{___}$

Разложение вектора по координатным векторам (ортам) — это его представление в виде линейной комбинации базисных векторов $\vec{i}$, $\vec{j}$ и $\vec{k}$. Для любого вектора $\vec{a}\{x; y; z\}$ в трехмерном пространстве его разложение по координатным векторам имеет вид:
$\vec{a} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}$
где $x$, $y$ и $z$ — это координаты вектора $\vec{a}$.

Разложение вектора $\vec{c}\{-1; 2; -3\}$
Координаты вектора $\vec{c}$ равны $x = -1$, $y = 2$ и $z = -3$.
Подставим эти значения в формулу разложения:
$\vec{c} = (-1)\cdot\vec{i} + 2\cdot\vec{j} + (-3)\cdot\vec{k}$
Упрощая выражение, получаем разложение вектора $\vec{c}$ по координатным векторам:
$\vec{c} = -\vec{i} + 2\vec{j} - 3\vec{k}$
Ответ: $\vec{c} = -\vec{i} + 2\vec{j} - 3\vec{k}$

Разложение вектора $\vec{p}\{3; 0; -5\}$
Координаты вектора $\vec{p}$ равны $x = 3$, $y = 0$ и $z = -5$.
Подставим эти значения в формулу разложения:
$\vec{p} = 3\cdot\vec{i} + 0\cdot\vec{j} + (-5)\cdot\vec{k}$
Поскольку коэффициент при векторе $\vec{j}$ равен нулю, это слагаемое можно опустить. Упрощая выражение, получаем разложение вектора $\vec{p}$:
$\vec{p} = 3\vec{i} - 5\vec{k}$
Ответ: $\vec{p} = 3\vec{i} - 5\vec{k}$

105 Найдите значения x и z, если $\vec{a}\{x; 2; -1\} = \vec{b}\{0; 2; z\}$.

Решение.

По условию задачи векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ _____, следовательно, их со- ответственные координаты _____, т. е. $x = \_\_\_\_\_$, $z = \_\_\_\_\_$.

Ответ. _____

Решение.

Два вектора равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие координаты. В условии задачи дано, что вектор $\vec{a}\{x; 2; -1\}$ равен вектору $\vec{b}\{0; 2; z\}$.

Чтобы найти значения $x$ и $z$, приравняем соответствующие координаты векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$:
1. Приравниваем первые координаты: $x = 0$.
2. Приравниваем вторые координаты: $2 = 2$. Это равенство является верным, что подтверждает возможность равенства векторов.
3. Приравниваем третьи координаты: $-1 = z$.

Таким образом, мы определили, что $x=0$ и $z=-1$.

Ответ. $x = 0$, $z = -1$.

106 Докажите, что для любых векторов $\vec{a}\{x_1; y_1; z_1\}$ и $\vec{b}\{x_2; y_2; z_2\}$ вектор $\vec{a} + \vec{b}$ имеет координаты $\{x_1 + x_2; y_1 + y_2; z_1 + z_2\}$.

Доказательство.

Координаты вектора — это ______________ его разложения по координатным ______________. Значит, $\vec{a} = x_1\vec{i} + \underline{\quad}\vec{j} + \underline{\quad}\vec{k}$,

$\vec{b} = x_2\vec{i} + \underline{\quad}\vec{j} + \underline{\quad}\vec{k}$

Используя законы сложения векторов и ______________ вектора на число, получаем

$\vec{a} + \vec{b} = (x_1\vec{i} + \underline{\quad}\vec{j} + \underline{\quad}\vec{k}) + (\underline{\quad}\vec{i} + \underline{\quad}\vec{j} + z_2\vec{k}) =$

$= (x_1\vec{i} + x_2\vec{i}) + \underline{\quad} =$

$= \underline{\quad},$

что означает: вектор $\vec{a} + \vec{b}$ имеет координаты $\{x_1 + x_2; \underline{\quad}; \underline{\quad}\}$.

Доказательство.

Координаты вектора — это коэффициенты его разложения по координатным ортам. Значит, $\vec{a} = x_1\vec{i} + y_1\vec{j} + z_1\vec{k}$,

$\vec{b} = x_2\vec{i} + y_2\vec{j} + z_2\vec{k}$.

Используя законы сложения векторов и умножения вектора на число, получаем

$\vec{a} + \vec{b} = (x_1\vec{i} + y_1\vec{j} + z_1\vec{k}) + (x_2\vec{i} + y_2\vec{j} + z_2\vec{k}) = $

$= (x_1\vec{i} + x_2\vec{i}) + (y_1\vec{j} + y_2\vec{j}) + (z_1\vec{k} + z_2\vec{k}) = $

$= (x_1 + x_2)\vec{i} + (y_1 + y_2)\vec{j} + (z_1 + z_2)\vec{k}$,

что означает: вектор $\vec{a} + \vec{b}$ имеет координаты $\{x_1 + x_2; y_1 + y_2; z_1 + z_2\}$.

Ответ: Доказательство, представленное в задаче, было завершено путем заполнения пропущенных элементов. Конечный результат доказывает, что каждая координата суммы двух векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов.