Страница 66 - гдз по геометрии 11 класс рабочая тетрадь Бутузов, Глазков

92 Дан параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$; $\vec{BA} = \vec{a}$, $\vec{BB_1} = \vec{b}$, $\vec{BC} = \vec{c}$. Докажите, что справедливо равенство

$\vec{B_1A} + \vec{A_1D_1} + \vec{AC_1} + \vec{CB_1} + \vec{C_1A_1} + \vec{BC} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$.

Доказательство.

Используя законы _____ векторов, преобразуем левую часть данного равенства:

$\vec{B_1A} + \vec{A_1D_1} + \vec{AC_1} + \vec{CB_1} + \vec{C_1A_1} + \vec{BC} =$

$ = (\vec{BC} + \vec{CB_1}) + (\text{_____} + \vec{AC_1}) + (\text{_____} + \text{_____} ) =$

$ = \vec{BB_1} + \vec{B_1C_1} + \text{_____} = \vec{BC_1} + \text{_____} = \vec{BD_1}$.

С другой стороны, диагональ $BD_1$ параллелепипеда изображает

векторов $\vec{BA}$, $\vec{BB_1}$ и _____, т. е. по правилу _____.

$\vec{BD_1} = \vec{a} + \vec{\text{_____}} + \vec{\text{_____}}$. Отсюда следует справедливость данного равенства.

Доказательство.

Используя законы сложения векторов, преобразуем левую часть данного равенства, сгруппировав слагаемые:

$\vec{B_1A} + \vec{A_1D_1} + \vec{AC_1} + \vec{CB_1} + \vec{C_1A_1} + \vec{BC} =$

$= (\vec{BC} + \vec{CB_1}) + (\vec{B_1A} + \vec{AC_1}) + (\vec{C_1A_1} + \vec{A_1D_1}) =$

Применяя правило треугольника для сложения векторов к каждой группе, получаем:

$(\vec{BC} + \vec{CB_1}) = \vec{BB_1}$

$(\vec{B_1A} + \vec{AC_1}) = \vec{B_1C_1}$

$(\vec{C_1A_1} + \vec{A_1D_1}) = \vec{C_1D_1}$

Подставляем полученные векторы обратно в выражение:

$= \vec{BB_1} + \vec{B_1C_1} + \vec{C_1D_1} = (\vec{BB_1} + \vec{B_1C_1}) + \vec{C_1D_1} = \vec{BC_1} + \vec{C_1D_1} = \vec{BD_1}.$

Таким образом, левая часть исходного равенства равна вектору $\vec{BD_1}$.

С другой стороны, диагональ $\vec{BD_1}$ параллелепипеда изображает сумму векторов $\vec{BA}$, $\vec{BB_1}$ и $\vec{BC}$, исходящих из одной вершины B, т. е. по правилу параллелепипеда.

$\vec{BD_1} = \vec{BA} + \vec{BC} + \vec{BB_1}$

Согласно условию, $\vec{BA} = \vec{a}$, $\vec{BB_1} = \vec{b}$, $\vec{BC} = \vec{c}$. Подставим эти значения:

$\vec{BD_1} = \vec{a} + \vec{c} + \vec{b}$

Используя коммутативный (перестановочный) закон сложения векторов, получаем:

$\vec{BD_1} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}.$

Отсюда следует справедливость данного равенства, так как и левая, и правая его части равны одному и тому же вектору $\vec{BD_1}$.

Ответ: Равенство доказано. Левая часть была преобразована к вектору $\vec{BD_1}$. По правилу параллелепипеда, вектор $\vec{BD_1}$ также равен сумме $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$, что соответствует правой части равенства.

93 Заполните пропуски:

Любой вектор $\vec{p}$ _______ разложить по трём данным векторам $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$, т. е. представить в виде $\vec{p} = x\vec{a} + y$ _______ $+$ _______ $\vec{c}$, где $x, y,$ _______ — некоторые числа.

При этом _______ разложения определяются _______ образом.

Данное задание представляет собой формулировку теоремы о разложении вектора по базису в трехмерном пространстве. Чтобы правильно заполнить пропуски, необходимо знать эту теорему.

Теорема гласит: Любой вектор в пространстве можно разложить по трем некомпланарным векторам, причем коэффициенты разложения определяются единственным образом.

Исходя из этого, заполняем пропуски:

1. В первом пропуске "Любой вектор $\vec{p}$ ______ разложить..." должно быть слово, утверждающее возможность этого действия. Это слово — можно.
2. Во втором пропуске "...по трём данным ______ векторам..." требуется указать необходимое и достаточное условие для векторов базиса. Векторы должны быть некомпланарным.
3. Далее необходимо дополнить формулу разложения: "...представить в виде $\vec{p} = x\vec{a} + y$______ + ______$\vec{c}$...". Стандартная форма записи: $\vec{p} = x\vec{a} + y\vec{b} + z\vec{c}$. Следовательно, в первый пропуск в формуле вставляем $\vec{b}$, а во второй — $z$.
4. В конце первого предложения перечисляются коэффициенты: "...где $x, y,$______ — некоторые числа." Пропущен третий коэффициент $z$.
5. Второе предложение начинается с пропуска: "При этом ______ разложения...". Числа $x, y, z$ называются коэффициентами разложения.
6. Последний пропуск "...определяются ______ образом." относится к единственности разложения. Коэффициенты определяются единственным образом.

В результате получается следующий полный текст:

Любой вектор $\vec{p}$ можно разложить по трём данным некомпланарным векторам $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$, т. е. представить в виде $\vec{p} = x\vec{a} + y\vec{b} + z\vec{c}$, где $x, y, z$ — некоторые числа.

При этом коэффициенты разложения определяются единственным образом.

Ответ:
Любой вектор $\vec{p}$ можно разложить по трём данным некомпланарным векторам $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$, т. е. представить в виде $\vec{p} = x\vec{a} + y\vec{b} + z\vec{c}$, где $x, y, z$ — некоторые числа.
При этом коэффициенты разложения определяются единственным образом.