Страница 61 - гдз по геометрии 11 класс рабочая тетрадь Бутузов, Глазков

84 Докажите, что три отрезка, соединяющие середины противоположных рёбер тетраэдра, пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.

Пусть точка K — середина ребра AD тетраэдра ABCD, тогда для любой __________ X пространства выполняется равенство

$ \vec{XK} = \frac{1}{2}\vec{XA} + \underline{\hspace{2em}} \vec{XD} $ (см. задание 83).

Если точка M — середина ребра BC,

то $ \vec{XM} = \frac{1}{2}\underline{\hspace{2em}} + \underline{\hspace{2em}} $. Обозначим буквой Q середину отрезка KM, тогда

$ \vec{XQ} = \frac{1}{2}\vec{XK} + \frac{1}{2}\underline{\hspace{2em}} = \frac{1}{2}(\underline{\hspace{2em}} + \vec{XM}) = \frac{1}{2}((\frac{1}{2}\vec{XA} + \frac{1}{2}\underline{\hspace{2em}}) + (\underline{\hspace{2em}} + \frac{1}{2}\vec{XC})) = $

$ = \frac{1}{4}(\vec{XA} + \vec{XB} + \underline{\hspace{2em}} + \vec{XD}). $

Обозначим буквами P, T и O середины отрезков AB, __________ и PT.

Тогда $ \vec{XP} = \underline{\hspace{2em}} $, $ \vec{XT} = \underline{\hspace{2em}} $, $ \vec{XO} = \frac{1}{2}(\vec{XP} + \underline{\hspace{2em}}) = $

$ = \frac{1}{2}((\frac{1}{2}\vec{XA} + \underline{\hspace{2em}}) + \frac{1}{2}(\underline{\hspace{2em}})) = \frac{1}{4}(\vec{XA} + \vec{XB} + \underline{\hspace{2em}} + \underline{\hspace{2em}}). $

Обозначим буквами E, H и F середины отрезков BD, AC и EH.

Тогда получим $ \vec{XE} = \underline{\hspace{2em}} $, $ \vec{XH} = \underline{\hspace{2em}} $, $ \vec{XF} = \underline{\hspace{2em}} $

$ = \underline{\hspace{2em}} = \frac{1}{4}(\vec{XA} + \underline{\hspace{2em}} + \underline{\hspace{2em}} + \vec{XD}). $

Сравнив полученные выражения для векторов $ \vec{XQ}, \vec{XO} $ и $ \vec{XF} $, делаем вывод: $ \vec{XQ} = \underline{\hspace{2em}} = \underline{\hspace{2em}} $. Так как начала этих равных векторов совпадают, то __________ и их концы. Следовательно, середины отрезков KM, PT и __________ совпадают, т. е. эти отрезки __________ в одной точке и делятся этой точкой __________, что и требовалось __________.

Доказательство.Пусть точка K — середина ребра AD тетраэдра ABCD, тогда для любой точки X пространства выполняется равенство $\vec{XK} = \frac{1}{2}(\vec{XA} + \vec{XD})$. Если точка M — середина ребра BC, то $\vec{XM} = \frac{1}{2}(\vec{XB} + \vec{XC})$. Обозначим буквой Q середину отрезка KM, тогда радиус-вектор точки Q относительно точки X будет равен:$\vec{XQ} = \frac{1}{2}(\vec{XK} + \vec{XM}) = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}(\vec{XA} + \vec{XD}) + \frac{1}{2}(\vec{XB} + \vec{XC})\right) = \frac{1}{4}(\vec{XA} + \vec{XB} + \vec{XC} + \vec{XD})$.

Обозначим буквами P, T и O середины отрезков AB, CD и PT соответственно. Отрезок PT соединяет середины второй пары противоположных ребер. Радиус-векторы точек P и T:$\vec{XP} = \frac{1}{2}(\vec{XA} + \vec{XB})$$\vec{XT} = \frac{1}{2}(\vec{XC} + \vec{XD})$Тогда радиус-вектор точки O, середины отрезка PT:$\vec{XO} = \frac{1}{2}(\vec{XP} + \vec{XT}) = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}(\vec{XA} + \vec{XB}) + \frac{1}{2}(\vec{XC} + \vec{XD})\right) = \frac{1}{4}(\vec{XA} + \vec{XB} + \vec{XC} + \vec{XD})$.

Обозначим буквами E, H и F середины отрезков BD, AC и EH соответственно. Отрезок EH соединяет середины третьей пары противоположных ребер. Радиус-векторы точек E и H:$\vec{XE} = \frac{1}{2}(\vec{XB} + \vec{XD})$$\vec{XH} = \frac{1}{2}(\vec{XA} + \vec{XC})$Тогда радиус-вектор точки F, середины отрезка EH:$\vec{XF} = \frac{1}{2}(\vec{XE} + \vec{XH}) = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}(\vec{XB} + \vec{XD}) + \frac{1}{2}(\vec{XA} + \vec{XC})\right) = \frac{1}{4}(\vec{XA} + \vec{XB} + \vec{XC} + \vec{XD})$.

Сравнив полученные выражения для векторов $\vec{XQ}$, $\vec{XO}$ и $\vec{XF}$, делаем вывод: $\vec{XQ} = \vec{XO} = \vec{XF}$. Так как начала этих равных векторов (точка X) совпадают, то совпадают и их концы (точки Q, O, F). Следовательно, середины отрезков KM, PT и EH совпадают, т. е. эти отрезки пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что три отрезка, соединяющие середины противоположных рёбер тетраэдра, пересекаются в одной точке и делятся ею пополам. Точка пересечения (центр масс тетраэдра) имеет радиус-вектор $\vec{r} = \frac{1}{4}(\vec{XA} + \vec{XB} + \vec{XC} + \vec{XD})$ относительно произвольной точки X.

85 Дано: $\vec{AM} = k\vec{MB} (k \neq -1).$

Докажите, что:

a) точки A, B и M лежат на одной прямой;

b) для любой точки X пространства верно равенство $\vec{XM} = \frac{\vec{XA} + k\vec{XB}}{1+k}$ (задача 586 учебника).

Доказательство.

a) Так как $\vec{AM} = k\vec{MB}$, то векторы $\vec{AM}$ и $\vec{MB}$ коллинеарны

(по определению коллинеарности вектора на число). Следовательно,

прямые $\vec{AM}$ и $\vec{MB}$ либо параллельны, либо совпадают. Поскольку

эти прямые имеют общую точку M, то они совпадают,

следовательно, точки A, B и M лежат на одной прямой.

b) Возьмём произвольную точку X пространства и представим векторы $\vec{AM}$ и $\vec{MB}$ в виде разности векторов с началом в точке X:

$\vec{AM} = \vec{XM} - \vec{XA}$, $\vec{MB} = \vec{XB} - \vec{XM}$.

Подставим в исходное равенство полученные выражения:

$\vec{XM} - \vec{XA} = k(\vec{XB} - \vec{XM})$, или $\vec{XM} - \vec{XA} = k\vec{XB} - k\vec{XM}$.

После переноса слагаемых $\vec{XA}$ и $k\vec{XM}$ из одной части равенства в

другую получим $\vec{XM} + k\vec{XM} = \vec{XA} + k\vec{XB}$, или $(1 + k)\vec{XM} = \vec{XA} + k\vec{XB}$.

По условию задачи $k \neq -1$, следовательно, $1 + k \neq 0$. Поэтому обе

части уравнения можно умножить на число $\frac{1}{1+k}$.

Получим $\vec{XM} = \frac{\vec{XA} + \vec{XB}}{1+k}$, что и требовалось доказать.

Дано векторное равенство $\vec{AM} = k \vec{MB}$. По определению умножения вектора на число, это означает, что векторы $\vec{AM}$ и $\vec{MB}$ коллинеарны. Коллинеарные векторы лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Следовательно, прямые AM и MB, на которых лежат эти векторы, либо совпадают, либо параллельны. Поскольку эти прямые имеют общую точку M, они не могут быть параллельными, а значит, они совпадают. Таким образом, точки A, B и M лежат на одной прямой.

Ответ: Доказано, что точки A, B и M лежат на одной прямой.

Возьмём произвольную точку X пространства. Любой вектор можно представить как разность векторов, отложенных от одной точки. Выразим векторы $\vec{AM}$ и $\vec{MB}$ через векторы с началом в точке X:
$\vec{AM} = \vec{XM} - \vec{XA}$
$\vec{MB} = \vec{XB} - \vec{XM}$
Подставим эти выражения в исходное равенство $\vec{AM} = k \vec{MB}$:
$\vec{XM} - \vec{XA} = k(\vec{XB} - \vec{XM})$
Раскроем скобки в правой части равенства:
$\vec{XM} - \vec{XA} = k\vec{XB} - k\vec{XM}$
Теперь сгруппируем слагаемые, содержащие вектор $\vec{XM}$, в левой части уравнения, а остальные слагаемые — в правой:
$\vec{XM} + k\vec{XM} = \vec{XA} + k\vec{XB}$
Вынесем вектор $\vec{XM}$ за скобки в левой части:
$(1 + k)\vec{XM} = \vec{XA} + k\vec{XB}$
По условию задачи $k \neq -1$, следовательно, выражение $(1+k)$ не равно нулю. Значит, мы можем разделить обе части равенства на $(1+k)$:
$\vec{XM} = \frac{\vec{XA} + k\vec{XB}}{1+k}$
Это и есть искомое равенство.

Ответ: Доказано, что для любой точки X пространства верно равенство $\vec{XM} = \frac{\vec{XA} + k\vec{XB}}{1+k}$.