Страница 59 - гдз по геометрии 11 класс рабочая тетрадь Бутузов, Глазков

80 Упростите выражение $2(5\vec{a} - 3\vec{c}) - 3(3\vec{a} - 2\vec{c}).$

Решение.

$2(5\vec{a} - \text{___}) - 3(\text{___}) =$

$= 2(5\vec{a}) - \text{___} - 3(3\vec{a}) \text{___} =$

$= 10\vec{a} - \text{___} - 9\vec{a} \text{___} =$

$= 10\vec{a} - 9\vec{a} \text{___} =$

$= (10 - 9)\vec{a}$

$= 1\vec{a} - \text{___} \text{___} =$

Ответ. ___

Обоснование.

___ распределительный закон

___ закон

___ и

переместительный законы сложения

___ закон

Решение.

Для упрощения данного выражения необходимо последовательно выполнить следующие действия:

1. Раскрыть скобки, умножив каждый вектор в скобках на скалярный множитель перед ними. Этот шаг основан на распределительном законе умножения относительно вычитания.

$2(5\vec{a} - 3\vec{c}) - 3(3\vec{a} - 2\vec{c}) = 2 \cdot 5\vec{a} - 2 \cdot 3\vec{c} - 3 \cdot 3\vec{a} - 3 \cdot (-2\vec{c})$

2. Выполнить умножение скалярных коэффициентов.

$10\vec{a} - 6\vec{c} - 9\vec{a} + 6\vec{c}$

3. Сгруппировать подобные слагаемые (векторы, отличающиеся только скалярным коэффициентом), используя переместительный и сочетательный законы сложения.

$(10\vec{a} - 9\vec{a}) + (-6\vec{c} + 6\vec{c})$

4. Вынести общий векторный множитель за скобки, снова применив распределительный закон.

$(10 - 9)\vec{a} + (-6 + 6)\vec{c}$

5. Выполнить арифметические действия со скалярами в скобках.

$1\vec{a} + 0\vec{c}$

6. Упростить полученное выражение, используя свойства умножения вектора на число ($1\vec{a} = \vec{a}$ и $0\vec{c} = \vec{0}$) и свойство сложения с нулевым вектором ($\vec{a} + \vec{0} = \vec{a}$).

$\vec{a} + \vec{0} = \vec{a}$

Ответ: $\vec{a}$.

Обоснование.

При решении были использованы следующие законы и свойства операций над векторами:

• Распределительный закон умножения на скаляр относительно сложения/вычитания векторов: $k(\vec{a} \pm \vec{b}) = k\vec{a} \pm k\vec{b}$. Он используется для раскрытия скобок и для вынесения общего векторного множителя.
• Сочетательный закон для умножения на скаляр: $k(l\vec{a}) = (kl)\vec{a}$. Применяется при вычислении коэффициентов, например, $2(5\vec{a}) = (2 \cdot 5)\vec{a} = 10\vec{a}$.
• Переместительный и сочетательный законы сложения векторов: $\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$ и $(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})$. Эти законы позволяют переставлять и группировать слагаемые для удобства вычислений.
• Свойства нулевого и единичного скаляров: $1 \cdot \vec{a} = \vec{a}$ и $0 \cdot \vec{a} = \vec{0}$.
• Свойство нулевого вектора: $\vec{a} + \vec{0} = \vec{a}$.

81 Докажите, что если векторы $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $ коллинеарны и $ \vec{a} \neq \vec{0} $, то существует такое число $ k $, что $ \vec{b} = k\vec{a} $.

Доказательство. Возможны два случая: 1) $ \vec{a} \uparrow\uparrow \vec{b} $ и 2) $ \vec{a} \uparrow\downarrow \vec{b} $. В обоих случаях векторы лежат на одной прямой или на _______ прямых, т. е. лежат в одной плоскости.

1) Пусть $ \vec{a} \uparrow\uparrow \vec{b} $. Возьмём число $ k = \frac{|\vec{a}|}{|\vec{b}|} $. Тогда $ |\vec{ka}| = |k|\cdot|\vec{a}| = \frac{|\vec{b}|}{|\vec{a}|} \cdot |\vec{a}| = |\vec{b}| $. Так как $ k > 0 $, то $ \vec{ka} \uparrow\uparrow \vec{a} $. Следовательно, $ \vec{b} = k\vec{a} $.

Итак, для первого случая утверждение доказано.

2) Пусть $ \vec{a} \uparrow\downarrow \vec{b} $. Возьмём число $ k = \frac{|\vec{b}|}{|\vec{a}|} $. Тогда $ |\vec{ka}| = |k|\cdot|\vec{a}| = \left| \frac{|\vec{b}|}{|\vec{a}|} \right| \cdot |\vec{a}| = |\vec{b}| $. Так как $ k < 0 $, то $ \vec{ka} \downarrow\uparrow \vec{a} $, и поэтому $ \vec{ka} \uparrow\uparrow \vec{b} $.

Итак, $ |\vec{b}| = |\vec{ka}| $ и $ \vec{b} \uparrow\uparrow \vec{ka} $, следовательно, $ \vec{b} = k\vec{a} $, что и требовалось доказать.

Доказательство. Возможны два случая: 1) $\vec{a} \uparrow\uparrow \vec{b}$ и 2) $\vec{a} \uparrow\downarrow \vec{b}$. В обоих случаях векторы лежат на одной прямой или на параллельных прямых, т. е. лежат в одной плоскости.

Пусть $\vec{a} \uparrow\uparrow \vec{b}$. Возьмём число $k = \frac{|\vec{b}|}{|\vec{a}|}$. Тогда $|k\vec{a}| = |k|\cdot|\vec{a}| = \frac{|\vec{b}|}{|\vec{a}|}\cdot|\vec{a}| = |\vec{b}|$. Так как $k > 0$ (если $\vec{b} \ne \vec{0}$), то $k\vec{a} \uparrow\uparrow \vec{a}$. Поскольку $\vec{a} \uparrow\uparrow \vec{b}$, то и $k\vec{a} \uparrow\uparrow \vec{b}$. Следовательно, векторы $\vec{b}$ и $k\vec{a}$ равны по модулю и сонаправлены, значит $\vec{b} = k\vec{a}$.

Ответ: для первого случая утверждение доказано.

Пусть $\vec{a} \uparrow\downarrow \vec{b}$. Возьмём число $k = -\frac{|\vec{b}|}{|\vec{a}|}$. Тогда $|k\vec{a}| = |k|\cdot|\vec{a}| = \left|-\frac{|\vec{b}|}{|\vec{a}|}\right|\cdot|\vec{a}| = \frac{|\vec{b}|}{|\vec{a}|}\cdot|\vec{a}| = |\vec{b}|$. Так как $k < 0$, то вектор $k\vec{a}$ противоположно направлен вектору $\vec{a}$, то есть $k\vec{a} \uparrow\downarrow \vec{a}$. Поскольку по условию $\vec{a} \uparrow\downarrow \vec{b}$, то из $k\vec{a} \uparrow\downarrow \vec{a}$ следует, что $k\vec{a} \uparrow\uparrow \vec{b}$.

Ответ: Итак, $|\vec{b}| = |k\vec{a}|$ и $\vec{b} \uparrow\uparrow k\vec{a}$, следовательно, $\vec{b} = k\vec{a}$, что и требовалось доказать.