Страница 64 - гдз по геометрии 11 класс рабочая тетрадь Бутузов, Глазков

88 Заполните пропуски в формулировке признака компланарности

трёх векторов:

Если вектор $\vec{c}$ можно _______ по векторам $\vec{a}$ и $\vec{b}$, т. е.

представить в виде $\vec{c} = x$ _______ + _______ , где _______ и $y$ _______ некоторые

числа, то векторы $\vec{a}$, _______ и $\vec{c}$ _______

Для того чтобы заполнить пропуски, необходимо восстановить полную формулировку признака компланарности трёх векторов. Этот признак связывает геометрическое понятие компланарности (возможность расположить векторы в одной плоскости) с алгебраическим понятием линейной комбинации.

Утверждение гласит, что если один вектор ($\vec{c}$) можно представить в виде суммы двух других векторов ($\vec{a}$ и $\vec{b}$), умноженных на некоторые числовые коэффициенты, то все три вектора лежат в одной плоскости. Такой способ представления называется разложением вектора по двум другим векторам. Математически это записывается как $\vec{c} = x\vec{a} + y\vec{b}$, где $x$ и $y$ — это скалярные коэффициенты (числа).

Основываясь на этом определении, мы можем заполнить все пропуски в предложении. Полная и верная формулировка будет выглядеть следующим образом:

Если вектор $\vec{c}$ можно разложить по векторам $\vec{a}$ и $\vec{b}$, т. е. представить в виде $\vec{c} = x\vec{a} + y\vec{b}$, где $x$ и $y$ — некоторые числа, то векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$ компланарны.

Ответ: Пропуски в тексте по порядку их появления следует заполнить так: разложить; $\vec{a}$; $y\vec{b}$; $x$; $\vec{b}$; компланарны.

89 Дано: $\vec{c} = 3(\vec{a} - \vec{b} + \vec{d}) - (3\vec{d} - \vec{a} - \vec{b})$. Докажите, что векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$ компланарны.

Доказательство.

Упростим равенство: $\vec{c} = 3(\vec{a} - \vec{b} + \text{____}) - (3\vec{d} - \text{____} - \vec{b}) = 3\vec{a} - \text{____} - 3\vec{d} + \text{____} = 3\vec{a} + \vec{a} - 3\vec{b} + \text{____} + \text{____} = 4\vec{a} - \text{____}$.

Итак, вектор $\vec{c}$ разложен по векторам $\vec{a}$ и \text{____}, следовательно, векторы $\vec{a}$, \text{____} и $\vec{c}$ компланарны, что и требовалось доказать.

Доказательство.

По определению, три вектора являются компланарными, если один из них можно выразить в виде линейной комбинации двух других. Чтобы доказать компланарность векторов $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$, нам нужно показать, что вектор $\vec{c}$ можно представить в виде $\vec{c} = x\vec{a} + y\vec{b}$, где $x$ и $y$ — некоторые скалярные коэффициенты.

Упростим данное в условии равенство:

$\vec{c} = 3(\vec{a} - \vec{b} + \vec{d}) - (3\vec{d} - \vec{a} - \vec{b})$

Раскроем скобки, умножив первый трехчлен на 3 и изменив знаки у векторов во второй скобке:

$\vec{c} = 3\vec{a} - 3\vec{b} + 3\vec{d} - 3\vec{d} + \vec{a} + \vec{b}$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые для каждого вектора:

$\vec{c} = (3\vec{a} + \vec{a}) + (-3\vec{b} + \vec{b}) + (3\vec{d} - 3\vec{d})$

Выполним сложение и вычитание векторов:

$\vec{c} = 4\vec{a} - 2\vec{b}$

Итак, вектор $\vec{c}$ разложен по векторам $\vec{a}$ и $\vec{b}$. Это означает, что вектор $\vec{c}$ лежит в той же плоскости, что и векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ (при условии, что они не коллинеарны). Следовательно, векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$ компланарны, что и требовалось доказать.

Ответ: Векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$ компланарны, так как после упрощения исходного выражения было получено равенство $\vec{c} = 4\vec{a} - 2\vec{b}$, которое является линейной комбинацией векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$.