Страница 63 - гдз по геометрии 11 класс рабочая тетрадь Бутузов, Глазков

87 Точка $O$ — середина диагонали $BD_1$ параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$, точка $K$ — середина ребра $CC_1$, точка $M$ лежит на ребре $AA_1$. Найдите на рисунке компланарные векторы.

Решение.

Векторы называются компланарными, если при откладывании их от одной точки и той же плоскости они будут лежать в одной плоскости.

Можно сказать иначе: векторы называются компланарными, если имеются параллельные им векторы, лежащие в одной плоскости.

1) В плоскости грани $ADD_1A_1$ лежат векторы $\vec{DD_1}$, $\vec{AD}$, $\vec{A_1D_1}$, и $\vec{A_1A}$. Следовательно, эти векторы компланарны. Прямые $BC_1$ и $AD_1$ параллельны, поэтому если от точки $D_1$ отложить $\vec{AD_1}$, равный вектору $\vec{BC_1}$, то он будет лежать в плоскости грани $ADD_1A_1$. Следовательно, векторы $\vec{DD_1}$, $\vec{AD}$, $\vec{A_1A}$ и $\vec{BC_1}$ компланарны.

2) Векторы $\vec{D_1A_1}$ и $\vec{D_1C_1}$ лежат в плоскости $A_1D_1C_1$, векторы $\vec{D_1C_1}$ и $\vec{BA}$ параллельны, следовательно, векторы $\vec{D_1A_1}$, $\vec{D_1C_1}$ компланарны. Прямые $BD$ и $B_1D_1$ параллельны, поэтому если от точки $D_1$ отложить $\vec{D_1B_1}$, равный вектору $\vec{BD}$, то он будет лежать в плоскости $A_1D_1C_1$. Аналогично поскольку $\vec{OK}$ параллелен $\vec{A_1C_1}$, то вектор, равный $\vec{A_1C_1}$ и отложенный от точки $D_1$, будет лежать в плоскости $D_1A_1C_1$. Следовательно, компланарными являются векторы $\vec{D_1A_1}$, $\vec{BA}$, $\vec{BD}$, $\vec{OK}$ и $\vec{D_1C_1}$.

3) Отрезки $BA$ и $D_1C_1$ равны и параллельны. Следовательно, четырёхугольник $ABC_1D_1$ является параллелограммом, а потому векторы $\vec{BA}$, $\vec{D_1A}$, $\vec{BC_1}$ и $\vec{C_1D_1}$ лежат в одной плоскости.

Ответ. Компланарными являются векторы:

1) $\vec{DD_1}$, $\vec{AD}$, $\vec{A_1A}$, и $\vec{BC_1}$

2) $\vec{D_1A_1}$, $\vec{BA}$, $\vec{BD}$, и $\vec{OK}$

3) $\vec{BA}$, $\vec{D_1A}$, $\vec{BC_1}$, и $\vec{C_1D_1}$

Векторы называются компланарными, если при откладывании их от одной и той же точки они будут лежать в одной плоскости.

Можно сказать иначе: векторы называются компланарными, если имеются равные им векторы, лежащие в одной плоскости.

1) В плоскости грани $ADD_1A_1$ лежат векторы $ \vec{DD_1} $, $ \vec{AD} $, и $ \vec{AA_1} $. Следовательно, эти векторы компланарны. Прямые $BC_1$ и $AD_1$ параллельны, поэтому если от точки $D_1$ отложить вектор, равный вектору $ \vec{BC_1} $, то он будет лежать в плоскости грани $ADD_1A_1$. Следовательно, векторы $ \vec{DD_1} $, $ \vec{AD} $, $ \vec{AA_1} $, и $ \vec{BC_1} $ компланарны.
Ответ: Компланарными являются векторы $ \vec{DD_1} $, $ \vec{AD} $, $ \vec{AA_1} $ и $ \vec{BC_1} $.

2) Векторы $ \vec{D_1A_1} $ и $ \vec{D_1C_1} $ лежат в плоскости $A_1D_1C_1$, следовательно, векторы $ \vec{D_1C_1} $ и $ \vec{BA} $ компланарны, следовательно, векторы $ \vec{D_1A_1} $, $ \vec{D_1C_1} $ и $ \vec{BA} $ компланарны. Прямые $BD$ и $B_1D_1$ параллельны, поэтому если от точки $D_1$ отложить вектор, равный вектору $ \vec{BD} $, то он будет лежать в плоскости $A_1D_1C_1$. Аналогично поскольку $ \vec{OK} $ параллелен $A_1C_1$, то вектор, равный $ \vec{OK} $ и отложенный от точки $D_1$, будет лежать в плоскости $A_1D_1C_1$. Следовательно, компланарными являются векторы $ \vec{D_1A_1} $, $ \vec{BA} $, $ \vec{BD} $, и $ \vec{OK} $.
Ответ: Компланарными являются векторы $ \vec{D_1A_1} $, $ \vec{BA} $, $ \vec{BD} $ и $ \vec{OK} $.

3) Отрезки $BA$ и $D_1C_1$ равны и параллельны, следовательно, четырёхугольник $ABC_1D_1$ является параллелограммом, а потому векторы $ \vec{BA} $, $ \vec{D_1A} $, $ \vec{AC_1} $, и $ \vec{BD_1} $ лежат в одной плоскости, и, следовательно, компланарны.
Ответ: Компланарными являются векторы $ \vec{BA} $, $ \vec{D_1A} $, $ \vec{AC_1} $ и $ \vec{BD_1} $.

Ответ. Компланарными являются векторы:

1) $ \vec{DD_1} $, $ \vec{AD} $, $ \vec{AA_1} $, и $ \vec{BC_1} $

2) $ \vec{D_1A_1} $, $ \vec{BA} $, $ \vec{BD} $, и $ \vec{OK} $

3) $ \vec{BA} $, $ \vec{D_1A} $, $ \vec{AC_1} $, и $ \vec{BD_1} $