Страница 70 - гдз по геометрии 11 класс рабочая тетрадь Бутузов, Глазков

100 Чему равна аппликата точки А, лежащей на: а) оси ординат; б) оси $Ox$; в) координатной плоскости $Oxy$?

Ответ. а) ___; б) ___; в) ___

а) В трехмерной декартовой системе координат осью ординат является ось $Oy$. Любая точка $A$, которая лежит на этой оси, имеет нулевые координаты по осям $Ox$ и $Oz$. Таким образом, ее координаты можно записать в общем виде как $(0, y, 0)$, где $y$ — некоторое действительное число. Аппликата точки — это ее координата по оси $Oz$. Следовательно, для любой точки на оси ординат аппликата равна нулю.
Ответ: $0$.

б) Ось $Ox$ также называют осью абсцисс. Для любой точки $A$, лежащей на оси $Ox$, ее координаты по осям $Oy$ и $Oz$ равны нулю. Координаты такой точки имеют вид $(x, 0, 0)$, где $x$ — некоторое действительное число. Аппликата (координата $z$) этой точки равна нулю.
Ответ: $0$.

в) Координатная плоскость $Oxy$ — это плоскость, содержащая оси $Ox$ и $Oy$. Уравнение этой плоскости — $z = 0$. Это означает, что для абсолютно любой точки $A$, лежащей в плоскости $Oxy$, ее третья координата, то есть аппликата, всегда будет равна нулю. Координаты такой точки в общем виде записываются как $(x, y, 0)$.
Ответ: $0$.

101 Заполните пропуски:

а) точка C$(0; -3; 0)$ лежит на оси _______

б) точка E$(2; 0; -1)$ лежит на _______

в) точка M$(0; 0; m)$ лежит на _______

г) точка T$(0; t; 0)$ лежит на _______

а) Чтобы определить, где лежит точка $C(0; -3; 0)$, нужно проанализировать её координаты $(x; y; z)$. У точки $C$ координаты $x=0$ и $z=0$. Если две из трех координат точки равны нулю, а третья — нет, то точка лежит на координатной оси, соответствующей ненулевой координате. В данном случае ненулевой является координата $y = -3$ (ордината), следовательно, точка лежит на оси ординат ($Oy$).

Ответ: оси ординат ($Oy$).

б) У точки $E(2; 0; -1)$ только одна координата равна нулю — это ордината ($y=0$). Если одна координата точки равна нулю, а две другие — нет, то точка лежит в координатной плоскости, которая проходит через оси, соответствующие ненулевым координатам. В данном случае ненулевые координаты — это абсцисса ($x=2$) и аппликата ($z=-1$), значит, точка лежит в плоскости $Oxz$.

Ответ: плоскости $Oxz$.

в) Точка $M(0; 0; m)$ имеет координаты $x=0$ и $y=0$. Независимо от значения $m$ (если $m \neq 0$), точка будет иметь только одну ненулевую координату — аппликату. Это означает, что точка лежит на оси аппликат ($Oz$). Если $m=0$, точка совпадает с началом координат, которое также лежит на оси $Oz$.

Ответ: оси аппликат ($Oz$).

г) У точки $T(0; t; 0)$ координаты $x=0$ и $z=0$. Аналогично пункту (а), при любом значении $t$ (кроме $t=0$), единственной ненулевой координатой будет ордината. Следовательно, точка лежит на оси ординат ($Oy$). Если $t=0$, точка является началом координат и также принадлежит оси $Oy$.

Ответ: оси ординат ($Oy$).

102 Дан вектор $\vec{a} = 2\vec{i} - \vec{j} - 0,5\vec{k}$, где $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$ — координатные векторы. Запишите координаты вектора $\vec{a}$.

Решение.

Координатами вектора в данной _________ координат называют-ся ____________________, $x, y, z$ разложения этого вектора по _______ векторам. Для данного вектора $\vec{a}$ имеем

$x = 2, y = \_ \_ \_ , z = \_ \_ \_ $, следовательно, $\vec{a}\left\{ \_ \_ \_ ; -1; \_ \_ \_ \right\}$.

Ответ.

$\vec{a}\_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_$

Решение.

Координаты вектора в трехмерной прямоугольной системе координат — это коэффициенты в его разложении по координатным векторам (ортам) $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$. Общая формула разложения вектора $\vec{a}$ по базису имеет вид:

$\vec{a} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}$

Здесь $x$, $y$ и $z$ являются координатами вектора $\vec{a}$ по осям Ox, Oy и Oz соответственно. Координаты вектора принято записывать в фигурных скобках: $\vec{a}\{x; y; z\}$.

Нам дан вектор $\vec{a} = 2\vec{i} - \vec{j} - 0,5\vec{k}$.

Сравнивая это выражение с общей формулой, находим коэффициенты при координатных векторах:

1. Коэффициент при $\vec{i}$ равен $2$, следовательно, координата $x = 2$.
2. Коэффициент при $\vec{j}$ равен $-1$ (поскольку запись $-\vec{j}$ эквивалентна $-1 \cdot \vec{j}$), следовательно, координата $y = -1$.
3. Коэффициент при $\vec{k}$ равен $-0,5$, следовательно, координата $z = -0,5$.

Таким образом, координаты вектора $\vec{a}$ есть $\{2; -1; -0,5\}$.

Ответ: $\vec{a}\{2; -1; -0,5\}$.

103 На рисунке изображён прямоугольный параллелепипед с измерениями $AB = 4$, $AD = 2$ и $AO = 6$. Найдите координаты вектора: а) $\vec{OA}$; б) $\vec{OM}$; в) $\vec{OP}$.

Решение.

Пусть $\vec{i}$, $\vec{j}$, $\vec{k}$ — координатные векторы. Тогда:

а) $\left|\vec{k}\right| = 1$, $\left|\vec{OA}\right| = 6$, следовательно, $\vec{OA} = 6\vec{k}$;

б) $\left|\vec{j}\right| = 1$, $\left|\vec{OM}\right| = 4$, следовательно, $\vec{OM} = 4\vec{j}$;

в) $\left|\vec{i}\right| = 1$, $\left|\vec{OP}\right| = 2$, следовательно, $\vec{OP} = 2\vec{i}$

Ответ. а) $\vec{OA}\{0; 0; 6\}$; б) $\vec{OM}\{0; 4; 0\}$; в) $\vec{OP}\{2; 0; 0\}$

Введем прямоугольную систему координат с началом в точке $O$ и осями, направленными вдоль ребер параллелепипеда, как показано на рисунке. Координатные векторы (орты) $\vec{i}$, $\vec{j}$, $\vec{k}$ сонаправлены с осями $Ox$, $Oy$ и $Oz$ соответственно, и их длина равна единице.

а) Вектор $\overrightarrow{OA}$ направлен вдоль оси $Oz$. Его длина задана по условию: $|\overrightarrow{OA}| = AO = 6$. Так как вектор $\overrightarrow{OA}$ сонаправлен с единичным вектором $\vec{k}$ (вектором оси $Oz$), то его можно представить в виде $\overrightarrow{OA} = 6\vec{k}$. Координаты вектора $\vec{k}$ равны $\{0; 0; 1\}$, следовательно, координаты вектора $\overrightarrow{OA}$ равны $\{0; 0; 6\}$.
Ответ: $\overrightarrow{OA}\{0; 0; 6\}$.

б) Вектор $\overrightarrow{OM}$ направлен вдоль оси $Oy$. Его длина равна длине ребра $OM$. В прямоугольном параллелепипеде противолежащие ребра равны, поэтому $OM = AB = 4$. Таким образом, $|\overrightarrow{OM}| = 4$. Так как вектор $\overrightarrow{OM}$ сонаправлен с единичным вектором $\vec{j}$ (вектором оси $Oy$), то его можно представить в виде $\overrightarrow{OM} = 4\vec{j}$. Координаты вектора $\vec{j}$ равны $\{0; 1; 0\}$, следовательно, координаты вектора $\overrightarrow{OM}$ равны $\{0; 4; 0\}$.
Ответ: $\overrightarrow{OM}\{0; 4; 0\}$.

в) Вектор $\overrightarrow{OP}$ направлен вдоль оси $Ox$. Его длина равна длине ребра $OP$. В прямоугольном параллелепипеде противолежащие ребра равны, поэтому $OP = AD = 2$. Таким образом, $|\overrightarrow{OP}| = 2$. Так как вектор $\overrightarrow{OP}$ сонаправлен с единичным вектором $\vec{i}$ (вектором оси $Ox$), то его можно представить в виде $\overrightarrow{OP} = 2\vec{i}$. Координаты вектора $\vec{i}$ равны $\{1; 0; 0\}$, следовательно, координаты вектора $\overrightarrow{OP}$ равны $\{2; 0; 0\}$.
Ответ: $\overrightarrow{OP}\{2; 0; 0\}$.