Страница 72 - гдз по геометрии 11 класс рабочая тетрадь Бутузов, Глазков

107 Найдите координаты вектора $4\vec{a}$, если $\vec{a}\{2; 0; -0,5\}$.

Решение.

Каждая координата произведения вектора на _____ равна _____ соответствующей координаты данного _____ на это число.

Поэтому вектор $4\vec{a}$ имеет координаты $\{4 \cdot 2; \text{_____}; \text{_____}\}$, и, значит, $4\vec{a}\{\text{_____}; \text{_____}; -2\}$.

Ответ. $4\vec{a}\{\text{_____}; \text{_____}; \text{_____}\}$.

Решение.

Каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты данного вектора на это число.

Поэтому вектор $4\vec{a}$ имеет координаты $\{4 \cdot 2; 4 \cdot 0; 4 \cdot (-0,5)\}$, и, значит, $4\vec{a}\{8; 0; -2\}$.

Ответ.

$4\vec{a}\{8; 0; -2\}$.

108 Найдите координаты вектора $\vec{p} = 4\vec{a} - 0.5\vec{b} - \vec{c}$, если $\vec{a}\{2; 0; -0.5\}$, $\vec{b}\{-4; 2; 0\}$, $\vec{c}\{0; -3; 2\}$.

Используя правило умножения вектора на ______, получаем

$4\vec{a}\{\_\_\_;\_\_\_;\_\_\_\}$, $-0.5\vec{b}\{\_\_\_;\_\_\_;\_\_\_\}$, $-\vec{c}\{\_\_\_;\_\_\_;\_\_\_\}$.

$x = 8 + \_\_\_ + \_\_\_ = \_\_\_$;

$y = \_\_\_ = \_\_\_$;

$z = \_\_\_ = \_\_\_$.

$\vec{p}\{ \_\_\_ ; \_\_\_ ; \_\_\_ \}$.

Решение.

Чтобы найти координаты вектора $\vec{p} = 4\vec{a} - 0,5\vec{b} - \vec{c}$, необходимо выполнить действия с векторами в координатной форме.

1. Сначала найдем координаты каждого вектора-слагаемого. Для этого используем правило умножения вектора на число: каждая координата вектора умножается на это число.

Вычислим координаты вектора $4\vec{a}$:
$4\vec{a} = \{4 \cdot 2; 4 \cdot 0; 4 \cdot (-0,5)\} = \{8; 0; -2\}$.

Вычислим координаты вектора $-0,5\vec{b}$:
$-0,5\vec{b} = \{-0,5 \cdot (-4); -0,5 \cdot 2; -0,5 \cdot 0\} = \{2; -1; 0\}$.

Вычислим координаты вектора $-\vec{c}$:
$-\vec{c} = \{-1 \cdot 0; -1 \cdot (-3); -1 \cdot 2\} = \{0; 3; -2\}$.

2. Теперь сложим полученные векторы. Чтобы найти координаты результирующего вектора $\vec{p}$, нужно сложить соответствующие координаты векторов $4\vec{a}$, $-0,5\vec{b}$ и $-\vec{c}$.

Следовательно, координаты $x, y, z$ вектора $\vec{p}$ равны:

$x = 8 + 2 + 0 = 10$

$y = 0 + (-1) + 3 = 2$

$z = -2 + 0 + (-2) = -4$

Таким образом, вектор $\vec{p}$ имеет координаты $\{10; 2; -4\}$.

Ответ: $\vec{p}\{10; 2; -4\}$.

109 Докажите утверждения:

а) если соответственные координаты двух векторов пропорциональны, то векторы коллинеарны;

б) если соответственные координаты двух векторов не пропорциональны, то векторы не коллинеарны.

Доказательство.

а) Пусть даны векторы $ \vec{a}\{x_1; y_1; z_1\} $ и $ \vec{b}\{x_2; y_2; z_2\} $.

Так как соответственные \underline{\hspace{4em}} векторов пропорциональны, то $ \frac{x_1}{x_2} = \frac{y_1}{y_2} = \underline{\hspace{1.5em}} = k $.

Следовательно, $ x_1 = kx_2, y_1 = \underline{\hspace{1.5em}}, z_1 = \underline{\hspace{1.5em}}, $ т. е. вектор $ \vec{a} $ имеет координаты $ \{kx_2; \underline{\hspace{1.5em}}; \underline{\hspace{1.5em}}\} $, поэтому $ \vec{a} = \underline{\hspace{1.5em}}\vec{b} $.

\underline{\hspace{10em}} вектора на число следует, что векторы $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $ коллинеарны.

б) Предположим, что векторы $ \vec{a} $ и $ \underline{\hspace{1.5em}} $ коллинеарны и $ \vec{a} \ne \vec{0} $.

Тогда $ \vec{b} = k\vec{a} $, где $ k $ --- некоторое число. Отсюда следует, что координаты векторов $ \vec{b} $ и $ \vec{a} $ пропорциональны, что противоречит условию задачи. Следовательно, предположение $ \underline{\hspace{1.5em}} $, т. е. векторы $ \underline{\hspace{1.5em}} $ и $ \vec{b} $ не коллинеарны.

а) Пусть даны векторы $\vec{a}\{x_1; y_1; z_1\}$ и $\vec{b}\{x_2; y_2; z_2\}$. Так как соответственные координаты векторов пропорциональны, то $\frac{x_1}{x_2} = \frac{y_1}{y_2} = \frac{z_1}{z_2} = k$. Следовательно, $x_1 = kx_2, y_1 = ky_2, z_1 = kz_2$, т. е. вектор $\vec{a}$ имеет координаты $\{kx_2; ky_2; kz_2\}$, поэтому $\vec{a} = k\vec{b}$. Из определения умножения вектора на число следует, что векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны.
Ответ: Утверждение доказано.

б) Предположим, что векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны и $\vec{a} \neq \vec{0}$. Тогда $\vec{b} = k\vec{a}$, где $k$ — некоторое число. Отсюда следует, что координаты векторов $\vec{b}$ и $\vec{a}$ пропорциональны ($\frac{x_2}{x_1} = \frac{y_2}{y_1} = \frac{z_2}{z_1} = k$), что противоречит условию задачи (в условии сказано, что координаты не пропорциональны). Следовательно, предположение неверно, т. е. векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ не коллинеарны.
Ответ: Утверждение доказано.