Номер 109, страница 72 - гдз по геометрии 11 класс рабочая тетрадь Бутузов, Глазков

7.1. Координаты точки и координаты вектора - номер 109, страница 72.

109 Докажите утверждения:

а) если соответственные координаты двух векторов пропорциональны, то векторы коллинеарны;

б) если соответственные координаты двух векторов не пропорциональны, то векторы не коллинеарны.

Доказательство.

а) Пусть даны векторы $ \vec{a}\{x_1; y_1; z_1\} $ и $ \vec{b}\{x_2; y_2; z_2\} $.

Так как соответственные \underline{\hspace{4em}} векторов пропорциональны, то $ \frac{x_1}{x_2} = \frac{y_1}{y_2} = \underline{\hspace{1.5em}} = k $.

Следовательно, $ x_1 = kx_2, y_1 = \underline{\hspace{1.5em}}, z_1 = \underline{\hspace{1.5em}}, $ т. е. вектор $ \vec{a} $ имеет координаты $ \{kx_2; \underline{\hspace{1.5em}}; \underline{\hspace{1.5em}}\} $, поэтому $ \vec{a} = \underline{\hspace{1.5em}}\vec{b} $.

\underline{\hspace{10em}} вектора на число следует, что векторы $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $ коллинеарны.

б) Предположим, что векторы $ \vec{a} $ и $ \underline{\hspace{1.5em}} $ коллинеарны и $ \vec{a} \ne \vec{0} $.

Тогда $ \vec{b} = k\vec{a} $, где $ k $ --- некоторое число. Отсюда следует, что координаты векторов $ \vec{b} $ и $ \vec{a} $ пропорциональны, что противоречит условию задачи. Следовательно, предположение $ \underline{\hspace{1.5em}} $, т. е. векторы $ \underline{\hspace{1.5em}} $ и $ \vec{b} $ не коллинеарны.

а) Пусть даны векторы $\vec{a}\{x_1; y_1; z_1\}$ и $\vec{b}\{x_2; y_2; z_2\}$. Так как соответственные координаты векторов пропорциональны, то $\frac{x_1}{x_2} = \frac{y_1}{y_2} = \frac{z_1}{z_2} = k$. Следовательно, $x_1 = kx_2, y_1 = ky_2, z_1 = kz_2$, т. е. вектор $\vec{a}$ имеет координаты $\{kx_2; ky_2; kz_2\}$, поэтому $\vec{a} = k\vec{b}$. Из определения умножения вектора на число следует, что векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны.
Ответ: Утверждение доказано.

б) Предположим, что векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны и $\vec{a} \neq \vec{0}$. Тогда $\vec{b} = k\vec{a}$, где $k$ — некоторое число. Отсюда следует, что координаты векторов $\vec{b}$ и $\vec{a}$ пропорциональны ($\frac{x_2}{x_1} = \frac{y_2}{y_1} = \frac{z_2}{z_1} = k$), что противоречит условию задачи (в условии сказано, что координаты не пропорциональны). Следовательно, предположение неверно, т. е. векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ не коллинеарны.
Ответ: Утверждение доказано.