Номер 106, страница 71 - гдз по геометрии 11 класс рабочая тетрадь Бутузов, Глазков

7.1. Координаты точки и координаты вектора - номер 106, страница 71.

106 Докажите, что для любых векторов $\vec{a}\{x_1; y_1; z_1\}$ и $\vec{b}\{x_2; y_2; z_2\}$ вектор $\vec{a} + \vec{b}$ имеет координаты $\{x_1 + x_2; y_1 + y_2; z_1 + z_2\}$.

Доказательство.

Координаты вектора — это ______________ его разложения по координатным ______________. Значит, $\vec{a} = x_1\vec{i} + \underline{\quad}\vec{j} + \underline{\quad}\vec{k}$,

$\vec{b} = x_2\vec{i} + \underline{\quad}\vec{j} + \underline{\quad}\vec{k}$

Используя законы сложения векторов и ______________ вектора на число, получаем

$\vec{a} + \vec{b} = (x_1\vec{i} + \underline{\quad}\vec{j} + \underline{\quad}\vec{k}) + (\underline{\quad}\vec{i} + \underline{\quad}\vec{j} + z_2\vec{k}) =$

$= (x_1\vec{i} + x_2\vec{i}) + \underline{\quad} =$

$= \underline{\quad},$

что означает: вектор $\vec{a} + \vec{b}$ имеет координаты $\{x_1 + x_2; \underline{\quad}; \underline{\quad}\}$.

Доказательство.

Координаты вектора — это коэффициенты его разложения по координатным ортам. Значит, $\vec{a} = x_1\vec{i} + y_1\vec{j} + z_1\vec{k}$,

$\vec{b} = x_2\vec{i} + y_2\vec{j} + z_2\vec{k}$.

Используя законы сложения векторов и умножения вектора на число, получаем

$\vec{a} + \vec{b} = (x_1\vec{i} + y_1\vec{j} + z_1\vec{k}) + (x_2\vec{i} + y_2\vec{j} + z_2\vec{k}) = $

$= (x_1\vec{i} + x_2\vec{i}) + (y_1\vec{j} + y_2\vec{j}) + (z_1\vec{k} + z_2\vec{k}) = $

$= (x_1 + x_2)\vec{i} + (y_1 + y_2)\vec{j} + (z_1 + z_2)\vec{k}$,

что означает: вектор $\vec{a} + \vec{b}$ имеет координаты $\{x_1 + x_2; y_1 + y_2; z_1 + z_2\}$.

Ответ: Доказательство, представленное в задаче, было завершено путем заполнения пропущенных элементов. Конечный результат доказывает, что каждая координата суммы двух векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов.