Номер 103, страница 70 - гдз по геометрии 11 класс рабочая тетрадь Бутузов, Глазков

7.1. Координаты точки и координаты вектора - номер 103, страница 70.

103 На рисунке изображён прямоугольный параллелепипед с измерениями $AB = 4$, $AD = 2$ и $AO = 6$. Найдите координаты вектора: а) $\vec{OA}$; б) $\vec{OM}$; в) $\vec{OP}$.

Решение.

Пусть $\vec{i}$, $\vec{j}$, $\vec{k}$ — координатные векторы. Тогда:

а) $\left|\vec{k}\right| = 1$, $\left|\vec{OA}\right| = 6$, следовательно, $\vec{OA} = 6\vec{k}$;

б) $\left|\vec{j}\right| = 1$, $\left|\vec{OM}\right| = 4$, следовательно, $\vec{OM} = 4\vec{j}$;

в) $\left|\vec{i}\right| = 1$, $\left|\vec{OP}\right| = 2$, следовательно, $\vec{OP} = 2\vec{i}$

Ответ. а) $\vec{OA}\{0; 0; 6\}$; б) $\vec{OM}\{0; 4; 0\}$; в) $\vec{OP}\{2; 0; 0\}$

Введем прямоугольную систему координат с началом в точке $O$ и осями, направленными вдоль ребер параллелепипеда, как показано на рисунке. Координатные векторы (орты) $\vec{i}$, $\vec{j}$, $\vec{k}$ сонаправлены с осями $Ox$, $Oy$ и $Oz$ соответственно, и их длина равна единице.

а) Вектор $\overrightarrow{OA}$ направлен вдоль оси $Oz$. Его длина задана по условию: $|\overrightarrow{OA}| = AO = 6$. Так как вектор $\overrightarrow{OA}$ сонаправлен с единичным вектором $\vec{k}$ (вектором оси $Oz$), то его можно представить в виде $\overrightarrow{OA} = 6\vec{k}$. Координаты вектора $\vec{k}$ равны $\{0; 0; 1\}$, следовательно, координаты вектора $\overrightarrow{OA}$ равны $\{0; 0; 6\}$.
Ответ: $\overrightarrow{OA}\{0; 0; 6\}$.

б) Вектор $\overrightarrow{OM}$ направлен вдоль оси $Oy$. Его длина равна длине ребра $OM$. В прямоугольном параллелепипеде противолежащие ребра равны, поэтому $OM = AB = 4$. Таким образом, $|\overrightarrow{OM}| = 4$. Так как вектор $\overrightarrow{OM}$ сонаправлен с единичным вектором $\vec{j}$ (вектором оси $Oy$), то его можно представить в виде $\overrightarrow{OM} = 4\vec{j}$. Координаты вектора $\vec{j}$ равны $\{0; 1; 0\}$, следовательно, координаты вектора $\overrightarrow{OM}$ равны $\{0; 4; 0\}$.
Ответ: $\overrightarrow{OM}\{0; 4; 0\}$.

в) Вектор $\overrightarrow{OP}$ направлен вдоль оси $Ox$. Его длина равна длине ребра $OP$. В прямоугольном параллелепипеде противолежащие ребра равны, поэтому $OP = AD = 2$. Таким образом, $|\overrightarrow{OP}| = 2$. Так как вектор $\overrightarrow{OP}$ сонаправлен с единичным вектором $\vec{i}$ (вектором оси $Ox$), то его можно представить в виде $\overrightarrow{OP} = 2\vec{i}$. Координаты вектора $\vec{i}$ равны $\{1; 0; 0\}$, следовательно, координаты вектора $\overrightarrow{OP}$ равны $\{2; 0; 0\}$.
Ответ: $\overrightarrow{OP}\{2; 0; 0\}$.