Номер 110, страница 73 - гдз по геометрии 11 класс рабочая тетрадь Бутузов, Глазков

7.1. Координаты точки и координаты вектора - номер 110, страница 73.

110 Даны векторы $\vec{m}\{2; 6; -3\}$, $\vec{n}\{0; -3; 1,5\}$, $\vec{p}\{-4; -12; 6\}$. Установите, какие из них являются коллинеарными.

Решение.

а) Сравним отношения соответствующих координат векторов $\vec{m}$ и $\vec{n}$:

$\frac{0}{2} \ne \frac{-3}{-3}$. Итак, абсциссы этих _________________________ не пропорциональны

_________________________ , поэтому векторы $\vec{m}$ и $\vec{n}$ _________________________ .

б) Сравним _________________________ соответствующих _________________________

векторов $\vec{m}$ и $\vec{p}$: $\frac{2}{-4} = $_________ $= -0,5$. Координаты этих векторов,

_________________________ , значит, векторы $\vec{m}$ и _________________________ .

в) Итак, векторы _________________________ и _________________________ коллинеарны, а вектор _________________________ не

коллинеарен вектору _________________________ , следовательно, он _________________________

быть коллинеарным вектору _________________________ .

Ответ. Коллинеарны векторы _________________________ и _________________________ .

Для того чтобы определить, какие из данных векторов $\vec{m}\{2; 6; -3\}$, $\vec{n}\{0; -3; 1,5\}$ и $\vec{p}\{-4; -12; 6\}$ являются коллинеарными, необходимо проверить пропорциональность их соответственных координат. Два ненулевых вектора коллинеарны, если отношения их соответственных координат равны.

а) Сравним отношения соответственных координат векторов $\vec{m}$ и $\vec{n}$.
Найдем отношение их абсцисс (первых координат) и ординат (вторых координат):
Отношение абсцисс: $\frac{n_x}{m_x} = \frac{0}{2} = 0$.
Отношение ординат: $\frac{n_y}{m_y} = \frac{-3}{6} = -0,5$.
Поскольку $0 \neq -0,5$, то есть $\frac{0}{2} \neq \frac{-3}{6}$, отношения соответствующих координат не равны. Это означает, что координаты векторов не пропорциональны.
Ответ: Векторы $\vec{m}$ и $\vec{n}$ не являются коллинеарными.

б) Сравним отношения соответственных координат векторов $\vec{m}$ и $\vec{p}$.
Найдем отношения всех соответственных координат:
$\frac{m_x}{p_x} = \frac{2}{-4} = -0,5$
$\frac{m_y}{p_y} = \frac{6}{-12} = -0,5$
$\frac{m_z}{p_z} = \frac{-3}{6} = -0,5$
Так как $\frac{2}{-4} = \frac{6}{-12} = \frac{-3}{6} = -0,5$, все отношения равны. Это означает, что координаты векторов пропорциональны (в частности, $\vec{m} = -0,5\vec{p}$), и, следовательно, векторы коллинеарны.
Ответ: Векторы $\vec{m}$ и $\vec{p}$ являются коллинеарными.

в) Итак, подведем итоги. Из проведенного анализа следует, что векторы $\vec{m}$ и $\vec{p}$ коллинеарны, а вектор $\vec{n}$ не коллинеарен вектору $\vec{m}$. Поскольку коллинеарность является транзитивным отношением (если $\vec{a}$ коллинеарен $\vec{b}$ и $\vec{b}$ коллинеарен $\vec{c}$, то $\vec{a}$ коллинеарен $\vec{c}$), можно заключить, что вектор $\vec{n}$ также не может быть коллинеарен вектору $\vec{p}$.
Ответ: Из трех данных векторов коллинеарной является только пара $\vec{m}$ и $\vec{p}$.