Номер 117, страница 77 - гдз по геометрии 11 класс рабочая тетрадь Бутузов, Глазков

7.1. Координаты точки и координаты вектора - номер 117, страница 77.

117 Точки A(3; 0; -2), B(0; -3; 1) и C(1; -2; 0) являются вершинами параллелограмма ABCD. Найдите координаты точки пересечения его диагоналей.

Решение.

Точка пересечения диагоналей параллелограмма является ____ каждой из диагоналей, поэтому достаточно найти координаты середины ____ AC:

$x = \frac{1}{2}(3 + \text{\rule{1cm}{0.15mm}}) = \text{\rule{1cm}{0.15mm}}; y = \text{\rule{1cm}{0.15mm}} = \text{\rule{1cm}{0.15mm}}; z = \text{\rule{1cm}{0.15mm}} = \text{\rule{1cm}{0.15mm}}$

Ответ.

$(\text{\rule{1cm}{0.15mm}}; \text{\rule{1cm}{0.15mm}}; \text{\rule{1cm}{0.15mm}}).$

По свойству параллелограмма, его диагонали пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам. Это означает, что точка пересечения диагоналей является серединой каждой из них. Для нахождения координат этой точки достаточно найти координаты середины одной из диагоналей, например, диагонали AC.

Даны координаты вершин A и C:

• A(3; 0; -2)
• C(1; -2; 0)

Пусть точка O(x; y; z) – точка пересечения диагоналей. Ее координаты равны полусумме соответствующих координат концов отрезка AC.

Формулы для нахождения координат середины отрезка:

$x_O = \frac{x_A + x_C}{2}$

$y_O = \frac{y_A + y_C}{2}$

$z_O = \frac{z_A + z_C}{2}$

Подставим значения координат точек A и C в формулы:

$x_O = \frac{3 + 1}{2} = \frac{4}{2} = 2$

$y_O = \frac{0 + (-2)}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

$z_O = \frac{-2 + 0}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

Таким образом, точка пересечения диагоналей имеет координаты (2; -1; -1).

Ответ: (2; -1; -1)