Номер 121, страница 79 - гдз по геометрии 11 класс рабочая тетрадь Бутузов, Глазков

7.1. Координаты точки и координаты вектора - номер 121, страница 79.

121 Напишите уравнение сферы с центром в точке P(2; 3; -3), проходящей через точку M(2; -1; 1).

Решение.

$R = PM = \text{_______________________}$. Уравнение сферы имеет вид $(x - \text{____})^2 + (y - \text{____})^2 + (z + \text{____})^2 = \text{____}$

Решение.

Для написания уравнения сферы необходимо знать координаты ее центра и ее радиус. Центр сферы дан по условию — это точка $P(2; 3; -3)$. Радиус $R$ сферы равен расстоянию от центра до любой точки, лежащей на сфере. Поскольку сфера проходит через точку $M(2; -1; 1)$, ее радиус будет равен расстоянию $PM$.

Вычислим расстояние между точками $P(x_p; y_p; z_p)$ и $M(x_m; y_m; z_m)$ по формуле: $R = PM = \sqrt{(x_m-x_p)^2 + (y_m-y_p)^2 + (z_m-z_p)^2}$

Подставим координаты точек $P(2; 3; -3)$ и $M(2; -1; 1)$: $R = \sqrt{(2-2)^2 + (-1-3)^2 + (1-(-3))^2} = \sqrt{0^2 + (-4)^2 + (1+3)^2} = \sqrt{0 + 16 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32}$.

Общее уравнение сферы с центром в точке $(x_0; y_0; z_0)$ и радиусом $R$ имеет вид: $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$.

Подставим координаты центра $P(2; 3; -3)$ и квадрат радиуса $R^2 = (\sqrt{32})^2 = 32$ в это уравнение: $(x - 2)^2 + (y - 3)^2 + (z - (-3))^2 = 32$

Таким образом, уравнение искомой сферы: $(x - 2)^2 + (y - 3)^2 + (z + 3)^2 = 32$.

Ответ: $(x - 2)^2 + (y - 3)^2 + (z + 3)^2 = 32$.