Номер 119, страница 79 - гдз по геометрии 11 класс рабочая тетрадь Бутузов, Глазков

7.1. Координаты точки и координаты вектора - номер 119, страница 79.

119 Докажите, что треугольник ABC, где A($-5$; $5$; $1$), B($-4$; $3$; $0$), C($-5$; $3$; $1$), является прямоугольным.

Доказательство.

Проверим, выполняется ли для данного треугольника условие теоремы, ________ теореме Пифагора. Найдём квадраты ________ треугольника:

$AB^2 = (-4 - (____))^2 + (____)^2 + ____ = 1^2 + ____ + ____ = ____$

$AC^2 = ____$

$BC^2 = ____$

Так как $AC^2 + BC^2 = ____$, то по теореме, обратной теореме ____, треугольник ABC ____ прямоугольным, причём $\angle ____ = 90^\circ$.

Чтобы доказать, что треугольник ABC с вершинами в точках A(-5; 5; 1), B(-4; 3; 0), C(-5; 3; 1) является прямоугольным, необходимо проверить, выполняется ли для него теорема, обратная теореме Пифагора. Согласно этой теореме, если сумма квадратов двух сторон треугольника равна квадрату третьей стороны, то такой треугольник является прямоугольным. Для этого найдем квадраты длин всех сторон треугольника, используя формулу квадрата расстояния между двумя точками $(x_1, y_1, z_1)$ и $(x_2, y_2, z_2)$: $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2$.

$AB^2$
Найдем квадрат длины стороны AB, соединяющей точки A(-5; 5; 1) и B(-4; 3; 0).
$AB^2 = (-4 - (-5))^2 + (3 - 5)^2 + (0 - 1)^2 = (-4 + 5)^2 + (-2)^2 + (-1)^2 = 1^2 + 4 + 1 = 6$.
Ответ: $AB^2 = 6$.

$AC^2$
Найдем квадрат длины стороны AC, соединяющей точки A(-5; 5; 1) и C(-5; 3; 1).
$AC^2 = (-5 - (-5))^2 + (3 - 5)^2 + (1 - 1)^2 = (-5 + 5)^2 + (-2)^2 + 0^2 = 0^2 + 4 + 0 = 4$.
Ответ: $AC^2 = 4$.

$BC^2$
Найдем квадрат длины стороны BC, соединяющей точки B(-4; 3; 0) и C(-5; 3; 1).
$BC^2 = (-5 - (-4))^2 + (3 - 3)^2 + (1 - 0)^2 = (-5 + 4)^2 + 0^2 + 1^2 = (-1)^2 + 0 + 1 = 1 + 1 = 2$.
Ответ: $BC^2 = 2$.

Доказательство
Теперь проверим, выполняется ли равенство $AC^2 + BC^2 = AB^2$.
Подставим найденные значения в левую часть равенства:
$AC^2 + BC^2 = 4 + 2 = 6$.
Правая часть равенства: $AB^2 = 6$.
Поскольку $6 = 6$, равенство $AC^2 + BC^2 = AB^2$ выполняется.
Так как сумма квадратов длин сторон AC и BC равна квадрату длины стороны AB, то по теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник ABC является прямоугольным. Наибольшая сторона AB является гипотенузой, а противолежащий ей угол C — прямым.
Ответ: Треугольник ABC является прямоугольным с прямым углом $\angle C = 90°$, что и требовалось доказать.