Номер 126, страница 81 - гдз по геометрии 11 класс рабочая тетрадь Бутузов, Глазков

7.1. Координаты точки и координаты вектора - номер 126, страница 81.

126 Найдите радиус сечения сферы $x^2 + y^2 + z^2 = 36$ плоскостью, проходящей через точку $M(2; 4; 5)$ и перпендикулярной к оси абсцисс. (Задача 746 учебника.)

Решение.

Центром данной сферы является точка $O(\underline{\hspace{1cm}}; \underline{\hspace{1cm}}; \underline{\hspace{1cm}})$, а её радиус $R$ равен $\underline{\hspace{1cm}}$. Пусть $OO_1$ — перпендикуляр, проведённый из точки $O$ к секущей плоскости. Так как секущая плоскость по условию перпендикулярна к $\underline{\hspace{3cm}}$, то отрезок $OO_1$ лежит на $\underline{\hspace{4cm}}$. Абсцисса любой точки секущей плоскости равна абсциссе данной точки $M$, т. е. равна $\underline{\hspace{1cm}}$. Поэтому $OO_1 = \underline{\hspace{1cm}}$, а искомый радиус $r$ сечения находим по формуле

$r = O_1M = \sqrt{R^2 - \underline{\hspace{3cm}}}$, т. е. $r = \sqrt{\underline{\hspace{4cm}}}$.

Ответ. $\underline{\hspace{2cm}}$

Решение.

Центром данной сферы, заданной уравнением $x^2 + y^2 + z^2 = 36$, является точка $O(0; 0; 0)$, а её радиус $R$ равен $\sqrt{36} = 6$.

Секущая плоскость проходит через точку $M(2; 4; 5)$ и перпендикулярна оси абсцисс (оси $Ox$). Уравнение плоскости, перпендикулярной оси $Ox$, имеет вид $x=c$. Поскольку плоскость проходит через точку $M$ с абсциссой $2$, ее уравнение — $x=2$.

Расстояние $d$ от центра сферы $O(0; 0; 0)$ до секущей плоскости $x=2$ равно длине перпендикуляра, опущенного из центра на плоскость. Этот перпендикуляр лежит на оси $Ox$, и его длина равна $d=2$.

Радиус сечения $r$, радиус сферы $R$ и расстояние $d$ от центра сферы до плоскости связаны по теореме Пифагора: $R^2 = d^2 + r^2$. Отсюда находим искомый радиус сечения $r$: $r = \sqrt{R^2 - d^2} = \sqrt{6^2 - 2^2} = \sqrt{36 - 4} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$.

Ответ: $4\sqrt{2}$.