Номер 131, страница 85 - гдз по геометрии 11 класс рабочая тетрадь Бутузов, Глазков

7.2. Скалярное произведение векторов - номер 131, страница 85.

131 В параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ все грани — ромбы со стороной $a$. Все углы граней при вершине $A$ равны $60^\circ$. Найдите длину диагонали $AC_1$.

Решение.

По правилу параллелепипеда получаем $AC_1 = \vec{AA_1} + \text{\_\_\_\_\_\_\_} + \text{\_\_\_\_\_\_\_}$. Так

как $AC_1 = |\text{\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_}| = \sqrt{AC_1^2}$, найдём

сначала $AC_1^2$:

$\vec{AC_1}^2 = (\vec{AA_1} + \vec{AB} + \text{\_\_\_\_\_\_\_})^2 =$

$= (\vec{AA_1} + (\text{\_\_\_\_\_\_\_} + \text{\_\_\_\_\_\_\_}))^2 =$

$= \vec{AA_1}^2 + 2\vec{AA_1}(\text{\_\_\_\_\_\_\_} + \text{\_\_\_\_\_\_\_}) + (\text{\_\_\_\_\_\_\_} + \text{\_\_\_\_\_\_\_})^2 =$

$= \vec{AA_1}^2 + \text{\_\_\_\_\_\_\_} + \vec{AD}^2 + 2(\vec{AA_1} \cdot \vec{AB} + \text{\_\_\_\_\_\_\_} + \vec{AB} \cdot \vec{AD}) =$

$= a^2 + a^2 + \text{\_\_\_\_\_\_\_} + 2(a^2 \cos 60^\circ + \text{\_\_\_\_\_\_\_} + \text{\_\_\_\_\_\_\_}) =$

$= \text{\_\_\_\_\_\_\_}a^2 + 2 \cdot 3 \cdot \text{\_\_\_\_\_\_\_} \cdot \frac{1}{2} = \text{\_\_\_\_\_\_\_}$

Итак, $AC_1^2 = \text{\_\_\_\_\_\_\_}a^2$, следовательно, $AC_1 = \text{\_\_\_\_\_\_\_}$

Ответ.

$\text{\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_}$

Решение.

Для нахождения длины диагонали $AC_1$ параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ воспользуемся векторным методом. Вектор диагонали $\vec{AC_1}$ можно выразить как сумму векторов ребер, выходящих из одной вершины A: $\vec{AC_1} = \vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AA_1}$.

Длина диагонали $AC_1$ равна модулю вектора $\vec{AC_1}$. Найдем квадрат длины диагонали как скалярный квадрат вектора $\vec{AC_1}$: $AC_1^2 = |\vec{AC_1}|^2 = \vec{AC_1} \cdot \vec{AC_1} = (\vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AA_1})^2$.

Раскроем квадрат суммы трех векторов: $AC_1^2 = \vec{AB}^2 + \vec{AD}^2 + \vec{AA_1}^2 + 2(\vec{AB} \cdot \vec{AD} + \vec{AB} \cdot \vec{AA_1} + \vec{AD} \cdot \vec{AA_1})$.

Согласно условию, все грани являются ромбами со стороной $a$, поэтому длины всех ребер, выходящих из вершины A, равны $a$: $|\vec{AB}| = |\vec{AD}| = |\vec{AA_1}| = a$.

Также по условию, все плоские углы при вершине A равны $60^\circ$. Это означает, что углы между векторами ребер, выходящих из вершины A, составляют $60^\circ$: $\angle(\vec{AB}, \vec{AD}) = 60^\circ$, $\angle(\vec{AB}, \vec{AA_1}) = 60^\circ$, $\angle(\vec{AD}, \vec{AA_1}) = 60^\circ$.

Подставим эти данные в формулу. Квадраты длин векторов: $\vec{AB}^2 = a^2$, $\vec{AD}^2 = a^2$, $\vec{AA_1}^2 = a^2$.

Скалярные произведения векторов равны: $\vec{AB} \cdot \vec{AD} = |\vec{AB}| |\vec{AD}| \cos(60^\circ) = a \cdot a \cdot \frac{1}{2} = \frac{a^2}{2}$. $\vec{AB} \cdot \vec{AA_1} = |\vec{AB}| |\vec{AA_1}| \cos(60^\circ) = a \cdot a \cdot \frac{1}{2} = \frac{a^2}{2}$. $\vec{AD} \cdot \vec{AA_1} = |\vec{AD}| |\vec{AA_1}| \cos(60^\circ) = a \cdot a \cdot \frac{1}{2} = \frac{a^2}{2}$.

Теперь вычислим квадрат длины диагонали: $AC_1^2 = a^2 + a^2 + a^2 + 2(\frac{a^2}{2} + \frac{a^2}{2} + \frac{a^2}{2}) = 3a^2 + 2(\frac{3a^2}{2}) = 3a^2 + 3a^2 = 6a^2$.

Длина диагонали $AC_1$ равна корню квадратному из этого значения: $AC_1 = \sqrt{6a^2} = a\sqrt{6}$.

Ответ: $a\sqrt{6}$.