Номер 118, страница 77 - гдз по геометрии 11 класс рабочая тетрадь Бутузов, Глазков

7.1. Координаты точки и координаты вектора - номер 118, страница 77.

118 Точки M(7; 7; 11), A(0; 8; 1), B(6; 0; 1) и C(14; 6; 1) являются вершинами правильной четырёхугольной пирамиды MABCD. Найдите высоту, апофему и площадь боковой поверхности пирамиды.

Решение.

1) Высота

1) Высота правильной пирамиды — это отрезок, соединяющий вершину пирамиды с _____ её основания.

Основанием правильной четырёхугольной _____ служит _____.

Его центр совпадает с точкой пересечения _____, которая является _____ каждой из диагоналей квадрата.

Найдём координаты точки H — середины _____ AC:

$x = \frac{1}{2} (14 + \_\_\_\_\_) = \_\_\_\_\_$; $y = \_\_\_\_\_ = \_\_\_\_\_$; $z = \_\_\_\_\_ = \_\_\_\_\_.$

Итак, H(7; \_\_\_\_\_; \_\_\_\_\_).

Вычислим высоту MH пирамиды:

$MH = \sqrt{(7 - \_\_\_\_\_)^2 + (\_\_\_\_\_)^2 + \_\_\_\_\_^2} = \sqrt{\_\_\_\_\_} = \_\_\_\_\_.$

2) Апофема правильной пирамиды

2) Апофема правильной пирамиды — это отрезок, соединяющий _____ пирамиды с _____ стороны основания. Найдём координаты точки P — середины _____ AB основания:

$x = \frac{1}{2} (0 + \_\_\_\_\_) = \_\_\_\_\_$; $y = \_\_\_\_\_ = \_\_\_\_\_$; $z = \_\_\_\_\_ = \_\_\_\_\_.$

Итак, P(\_\_\_\_\_; \_\_\_\_\_; \_\_\_\_\_).

Следовательно, $MP = \sqrt{(3 - \_\_\_\_\_)^2 + \_\_\_\_\_^2 + \_\_\_\_\_^2} = \sqrt{\_\_\_\_\_} = \_\_\_\_\_ \sqrt{5}.$

3) Площадь боковой поверхности правильной пирамиды

3) Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна _____ произведения _____ основания и апофе-мы пирамиды. Найдём сторону AB _____ пирамиды:

$AB = \sqrt{\_\_\_\_\_^2 + \_\_\_\_\_^2 + \_\_\_\_\_^2} = \sqrt{\_\_\_\_\_} = \_\_\_\_\_.$

Вычислим площадь боковой _____ пирамиды:

$S = \frac{1}{2} \cdot \_\_\_\_\_ \cdot \_\_\_\_\_ = \_\_\_\_\_.$

Ответ.

Высота пирамиды равна _____.

Апофема пирамиды равна _____.

Площадь боковой поверхности пирамиды равна _____.

1) Высота правильной пирамиды проходит через центр её основания. Основанием правильной четырёхугольной пирамиды служит квадрат. Его центр совпадает с точкой пересечения диагоналей, которая является серединой каждой из диагоналей квадрата.

Найдём координаты точки $H$ — середины диагонали $AC$:

$x = \frac{1}{2}(14 + 0) = 7$; $y = \frac{1}{2}(8 + 6) = 7$; $z = \frac{1}{2}(1 + 1) = 1$.

Итак, $H(7; 7; 1)$.

Вычислим высоту $MH$ пирамиды:

$MH = \sqrt{(7 - 7)^2 + (7 - 7)^2 + (11 - 1)^2} = \sqrt{0^2 + 0^2 + 10^2} = \sqrt{100} = 10$.

Ответ: 10

2) Апофема правильной пирамиды — это отрезок, соединяющий вершину пирамиды с серединой стороны основания. Найдём координаты точки $P$ — середины стороны $AB$ основания:

$x = \frac{1}{2}(0 + 6) = 3$; $y = \frac{1}{2}(8 + 0) = 4$; $z = \frac{1}{2}(1 + 1) = 1$.

Итак, $P(3; 4; 1)$. Следовательно, $MP = \sqrt{(7 - 3)^2 + (7 - 4)^2 + (11 - 1)^2} = \sqrt{4^2 + 3^2 + 10^2} = \sqrt{16 + 9 + 100} = \sqrt{125} = 5\sqrt{5}$.

Ответ: $5\sqrt{5}$

3) Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания и апофемы пирамиды. Найдём сторону $AB$:

$AB = \sqrt{(6-0)^2 + (0-8)^2 + (1-1)^2} = \sqrt{36 + 64 + 0} = \sqrt{100} = 10$.

Вычислим площадь боковой поверхности пирамиды:

$S = \frac{1}{2} \cdot P_{осн} \cdot MP = \frac{1}{2} \cdot (4 \cdot 10) \cdot 5\sqrt{5} = 100\sqrt{5}$.

Ответ: $100\sqrt{5}$