Страница 77 - гдз по геометрии 11 класс рабочая тетрадь Бутузов, Глазков

117 Точки A(3; 0; -2), B(0; -3; 1) и C(1; -2; 0) являются вершинами параллелограмма ABCD. Найдите координаты точки пересечения его диагоналей.

Решение.

Точка пересечения диагоналей параллелограмма является ____ каждой из диагоналей, поэтому достаточно найти координаты середины ____ AC:

$x = \frac{1}{2}(3 + \text{\rule{1cm}{0.15mm}}) = \text{\rule{1cm}{0.15mm}}; y = \text{\rule{1cm}{0.15mm}} = \text{\rule{1cm}{0.15mm}}; z = \text{\rule{1cm}{0.15mm}} = \text{\rule{1cm}{0.15mm}}$

Ответ.

$(\text{\rule{1cm}{0.15mm}}; \text{\rule{1cm}{0.15mm}}; \text{\rule{1cm}{0.15mm}}).$

По свойству параллелограмма, его диагонали пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам. Это означает, что точка пересечения диагоналей является серединой каждой из них. Для нахождения координат этой точки достаточно найти координаты середины одной из диагоналей, например, диагонали AC.

Даны координаты вершин A и C:

• A(3; 0; -2)
• C(1; -2; 0)

Пусть точка O(x; y; z) – точка пересечения диагоналей. Ее координаты равны полусумме соответствующих координат концов отрезка AC.

Формулы для нахождения координат середины отрезка:

$x_O = \frac{x_A + x_C}{2}$

$y_O = \frac{y_A + y_C}{2}$

$z_O = \frac{z_A + z_C}{2}$

Подставим значения координат точек A и C в формулы:

$x_O = \frac{3 + 1}{2} = \frac{4}{2} = 2$

$y_O = \frac{0 + (-2)}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

$z_O = \frac{-2 + 0}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

Таким образом, точка пересечения диагоналей имеет координаты (2; -1; -1).

Ответ: (2; -1; -1)

118 Точки M(7; 7; 11), A(0; 8; 1), B(6; 0; 1) и C(14; 6; 1) являются вершинами правильной четырёхугольной пирамиды MABCD. Найдите высоту, апофему и площадь боковой поверхности пирамиды.

Решение.

1) Высота

1) Высота правильной пирамиды — это отрезок, соединяющий вершину пирамиды с _____ её основания.

Основанием правильной четырёхугольной _____ служит _____.

Его центр совпадает с точкой пересечения _____, которая является _____ каждой из диагоналей квадрата.

Найдём координаты точки H — середины _____ AC:

$x = \frac{1}{2} (14 + \_\_\_\_\_) = \_\_\_\_\_$; $y = \_\_\_\_\_ = \_\_\_\_\_$; $z = \_\_\_\_\_ = \_\_\_\_\_.$

Итак, H(7; \_\_\_\_\_; \_\_\_\_\_).

Вычислим высоту MH пирамиды:

$MH = \sqrt{(7 - \_\_\_\_\_)^2 + (\_\_\_\_\_)^2 + \_\_\_\_\_^2} = \sqrt{\_\_\_\_\_} = \_\_\_\_\_.$

2) Апофема правильной пирамиды

2) Апофема правильной пирамиды — это отрезок, соединяющий _____ пирамиды с _____ стороны основания. Найдём координаты точки P — середины _____ AB основания:

$x = \frac{1}{2} (0 + \_\_\_\_\_) = \_\_\_\_\_$; $y = \_\_\_\_\_ = \_\_\_\_\_$; $z = \_\_\_\_\_ = \_\_\_\_\_.$

Итак, P(\_\_\_\_\_; \_\_\_\_\_; \_\_\_\_\_).

Следовательно, $MP = \sqrt{(3 - \_\_\_\_\_)^2 + \_\_\_\_\_^2 + \_\_\_\_\_^2} = \sqrt{\_\_\_\_\_} = \_\_\_\_\_ \sqrt{5}.$

3) Площадь боковой поверхности правильной пирамиды

3) Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна _____ произведения _____ основания и апофе-мы пирамиды. Найдём сторону AB _____ пирамиды:

$AB = \sqrt{\_\_\_\_\_^2 + \_\_\_\_\_^2 + \_\_\_\_\_^2} = \sqrt{\_\_\_\_\_} = \_\_\_\_\_.$

Вычислим площадь боковой _____ пирамиды:

$S = \frac{1}{2} \cdot \_\_\_\_\_ \cdot \_\_\_\_\_ = \_\_\_\_\_.$

Ответ.

Высота пирамиды равна _____.

Апофема пирамиды равна _____.

Площадь боковой поверхности пирамиды равна _____.

1) Высота правильной пирамиды проходит через центр её основания. Основанием правильной четырёхугольной пирамиды служит квадрат. Его центр совпадает с точкой пересечения диагоналей, которая является серединой каждой из диагоналей квадрата.

Найдём координаты точки $H$ — середины диагонали $AC$:

$x = \frac{1}{2}(14 + 0) = 7$; $y = \frac{1}{2}(8 + 6) = 7$; $z = \frac{1}{2}(1 + 1) = 1$.

Итак, $H(7; 7; 1)$.

Вычислим высоту $MH$ пирамиды:

$MH = \sqrt{(7 - 7)^2 + (7 - 7)^2 + (11 - 1)^2} = \sqrt{0^2 + 0^2 + 10^2} = \sqrt{100} = 10$.

Ответ: 10

2) Апофема правильной пирамиды — это отрезок, соединяющий вершину пирамиды с серединой стороны основания. Найдём координаты точки $P$ — середины стороны $AB$ основания:

$x = \frac{1}{2}(0 + 6) = 3$; $y = \frac{1}{2}(8 + 0) = 4$; $z = \frac{1}{2}(1 + 1) = 1$.

Итак, $P(3; 4; 1)$. Следовательно, $MP = \sqrt{(7 - 3)^2 + (7 - 4)^2 + (11 - 1)^2} = \sqrt{4^2 + 3^2 + 10^2} = \sqrt{16 + 9 + 100} = \sqrt{125} = 5\sqrt{5}$.

Ответ: $5\sqrt{5}$

3) Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания и апофемы пирамиды. Найдём сторону $AB$:

$AB = \sqrt{(6-0)^2 + (0-8)^2 + (1-1)^2} = \sqrt{36 + 64 + 0} = \sqrt{100} = 10$.

Вычислим площадь боковой поверхности пирамиды:

$S = \frac{1}{2} \cdot P_{осн} \cdot MP = \frac{1}{2} \cdot (4 \cdot 10) \cdot 5\sqrt{5} = 100\sqrt{5}$.

Ответ: $100\sqrt{5}$