Страница 73 - гдз по геометрии 11 класс рабочая тетрадь Бутузов, Глазков

110 Даны векторы $\vec{m}\{2; 6; -3\}$, $\vec{n}\{0; -3; 1,5\}$, $\vec{p}\{-4; -12; 6\}$. Установите, какие из них являются коллинеарными.

Решение.

а) Сравним отношения соответствующих координат векторов $\vec{m}$ и $\vec{n}$:

$\frac{0}{2} \ne \frac{-3}{-3}$. Итак, абсциссы этих _________________________ не пропорциональны

_________________________ , поэтому векторы $\vec{m}$ и $\vec{n}$ _________________________ .

б) Сравним _________________________ соответствующих _________________________

векторов $\vec{m}$ и $\vec{p}$: $\frac{2}{-4} = $_________ $= -0,5$. Координаты этих векторов,

_________________________ , значит, векторы $\vec{m}$ и _________________________ .

в) Итак, векторы _________________________ и _________________________ коллинеарны, а вектор _________________________ не

коллинеарен вектору _________________________ , следовательно, он _________________________

быть коллинеарным вектору _________________________ .

Ответ. Коллинеарны векторы _________________________ и _________________________ .

Для того чтобы определить, какие из данных векторов $\vec{m}\{2; 6; -3\}$, $\vec{n}\{0; -3; 1,5\}$ и $\vec{p}\{-4; -12; 6\}$ являются коллинеарными, необходимо проверить пропорциональность их соответственных координат. Два ненулевых вектора коллинеарны, если отношения их соответственных координат равны.

а) Сравним отношения соответственных координат векторов $\vec{m}$ и $\vec{n}$.
Найдем отношение их абсцисс (первых координат) и ординат (вторых координат):
Отношение абсцисс: $\frac{n_x}{m_x} = \frac{0}{2} = 0$.
Отношение ординат: $\frac{n_y}{m_y} = \frac{-3}{6} = -0,5$.
Поскольку $0 \neq -0,5$, то есть $\frac{0}{2} \neq \frac{-3}{6}$, отношения соответствующих координат не равны. Это означает, что координаты векторов не пропорциональны.
Ответ: Векторы $\vec{m}$ и $\vec{n}$ не являются коллинеарными.

б) Сравним отношения соответственных координат векторов $\vec{m}$ и $\vec{p}$.
Найдем отношения всех соответственных координат:
$\frac{m_x}{p_x} = \frac{2}{-4} = -0,5$
$\frac{m_y}{p_y} = \frac{6}{-12} = -0,5$
$\frac{m_z}{p_z} = \frac{-3}{6} = -0,5$
Так как $\frac{2}{-4} = \frac{6}{-12} = \frac{-3}{6} = -0,5$, все отношения равны. Это означает, что координаты векторов пропорциональны (в частности, $\vec{m} = -0,5\vec{p}$), и, следовательно, векторы коллинеарны.
Ответ: Векторы $\vec{m}$ и $\vec{p}$ являются коллинеарными.

в) Итак, подведем итоги. Из проведенного анализа следует, что векторы $\vec{m}$ и $\vec{p}$ коллинеарны, а вектор $\vec{n}$ не коллинеарен вектору $\vec{m}$. Поскольку коллинеарность является транзитивным отношением (если $\vec{a}$ коллинеарен $\vec{b}$ и $\vec{b}$ коллинеарен $\vec{c}$, то $\vec{a}$ коллинеарен $\vec{c}$), можно заключить, что вектор $\vec{n}$ также не может быть коллинеарен вектору $\vec{p}$.
Ответ: Из трех данных векторов коллинеарной является только пара $\vec{m}$ и $\vec{p}$.

111 Компланарны ли векторы:

a) $\vec{a}\{-6; 4; -12\}$, $\vec{b}\{1.5; -1; 3\}$, $\vec{c}\{0; 4; -12\}$;

b) $\vec{p}\{-1; 0; 2\}$, $\vec{q}\{-1; 3; 0\}$, $\vec{t}\{2; 3; -6\}$?

Решение.

a) Любые три вектора, два из которых коллинеарны, являются ____. Векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны, так как их координаты ____:

$\frac{-6}{1.5} = \frac{4}{\_\_\_\_} = \frac{-12}{\_\_\_\_}$. Поэтому векторы $\vec{a}$, ____ и $\vec{c}$ ____.

б) Векторы $\vec{p}$ и $\vec{q}$ ____, так как их ____ не пропорциональны: $\frac{-1}{-1} = \frac{0}{3}$. В соответствии ____ компланарности трёх ____, если вектор $\vec{t}$ можно разложить по ____ $\vec{p}$ и $\vec{q}$, то векторы $\vec{p}$, ____ и $\vec{t}$ ____.

Проверим, можно ли вектор $\vec{t}$ ____ по векторам $\vec{q}$ и ____, т. е. существуют ли ____ $x$ и $y$, такие, что $\vec{t} = x\vec{p} + \_\_\_\_$.

Запишем это равенство в координатах:

$\left\{ \begin{array}{l} 2 = x \cdot (-1) + \_\_\_\_ \\ 3 = \_\_\_\_ + y \cdot 3 \\ \_\_\_\_ = \_\_\_\_ \end{array} \right.$

Решим полученную систему уравнений: из третьего уравнения находим $x = \_\_\_\_$, а из второго уравнения находим $y = \_\_\_\_$. Подставляя найденные значения $x$ и $y$ в первое ____, получаем верное ____.

Следовательно, пара чисел $x = \_\_\_\_ и y = 1 \_\_\_\_ решением системы уравнений, т. е. $\vec{t} = -3\vec{p} + \_\_\_\_ \vec{q}$. Поэтому векторы $\vec{p}$, $\vec{q}$ и $\vec{t}$ ____.

Ответ.

a) Векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ ____.

b) Векторы $\vec{p}$, $\vec{q}$, $\vec{t}$ ____.

Любые три вектора, два из которых коллинеарны, являются компланарными. Векторы $\vec{a}\{-6; 4; -12\}$ и $\vec{b}\{1,5; -1; 3\}$ коллинеарны, так как их координаты пропорциональны: $\frac{-6}{1,5} = \frac{4}{-1} = \frac{-12}{3} = -4$. Поэтому векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$ компланарны.

Ответ: Векторы $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ компланарны.

Векторы $\vec{p}\{-1; 0; 2\}$ и $\vec{q}\{-1; 3; 0\}$ неколлинеарны, так как их координаты не пропорциональны: $\frac{-1}{-1} \neq \frac{0}{3}$. В соответствии с признаком компланарности трёх векторов, если вектор $\vec{t}$ можно разложить по неколлинеарным векторам $\vec{p}$ и $\vec{q}$, то векторы $\vec{p}$, $\vec{q}$ и $\vec{t}$ компланарны.

Проверим, можно ли вектор $\vec{t}$ разложить по векторам $\vec{p}$ и $\vec{q}$, т. е. существуют ли числа $x$ и $y$, такие, что $\vec{t} = x\vec{p} + y\vec{q}$.

Запишем это равенство в координатах:

$\begin{cases} 2 = x \cdot (-1) + y \cdot (-1) \\ 3 = x \cdot 0 + y \cdot 3 \\ -6 = x \cdot 2 + y \cdot 0 \end{cases}$

Решим полученную систему уравнений: из третьего уравнения находим $x = -3$, а из второго уравнения находим $y = 1$. Подставляя найденные значения $x$ и $y$ в первое уравнение, получаем верное равенство: $2 = (-3) \cdot (-1) + 1 \cdot (-1) = 3 - 1 = 2$.

Следовательно, пара чисел $x = -3$ и $y = 1$ является решением системы уравнений, т. е. $\vec{t} = -3\vec{p} + 1\vec{q}$. Поэтому векторы $\vec{p}$, $\vec{q}$ и $\vec{t}$ компланарны.

Ответ: Векторы $\vec{p}, \vec{q}, \vec{t}$ компланарны.