Страница 75 - гдз по геометрии 11 класс рабочая тетрадь Бутузов, Глазков

113 Дан вектор $\vec{OT}\{2; -1; 0\}$. Запишите координаты точки $T$, если точка $O$ — начало координат.

Решение.

Так как началом вектора $\vec{OT}$ служит ____ координат, то вектор ____ является ____ точки $T$, поэтому $T(\_; \_; \_)$.

Ответ. ____

Решение.

Координаты вектора определяются разностью соответствующих координат его конца и начала. Для вектора $\vec{OT}$ с началом в точке $O(x_O, y_O, z_O)$ и концом в точке $T(x_T, y_T, z_T)$ его координаты вычисляются по формуле: $\vec{OT} = \{x_T - x_O; y_T - y_O; z_T - z_O\}$.

По условию задачи, точка $O$ является началом координат, поэтому её координаты — $O(0; 0; 0)$. Подставим эти значения в формулу: $\vec{OT} = \{x_T - 0; y_T - 0; z_T - 0\} = \{x_T; y_T; z_T\}$.

Это означает, что координаты вектора, выходящего из начала координат, совпадают с координатами его конечной точки. Такой вектор называется радиус-вектором точки.

Нам даны координаты вектора $\vec{OT}\{2; -1; 0\}$. Так как мы установили, что $\vec{OT} = \{x_T; y_T; z_T\}$, мы можем приравнять соответствующие координаты: $x_T = 2$ $y_T = -1$ $z_T = 0$

Таким образом, точка $T$ имеет координаты $(2; -1; 0)$.

Ответ: T(2; -1; 0).

114 Даны три точки: A(5; -3; 2), B(0; 1; -2), C(2; -2; 0).

Решение.

а) $\vec{AB}\{0 - \text{___}; \text{___} - (-3); \text{___} - \text{___}\}$, т. е. $\vec{AB}\{\text{___}; \text{___}; \text{___}\}$;

б) $\vec{BC}\{2 - \text{___}; \text{___} - 1; \text{___} - \text{___}\}$, т. е. $\vec{BC}\{\text{___}\}.

Следовательно, $\vec{BC} = 2\vec{i} - \text{___}\vec{j} + \text{___}$

Ответ.

а) ___

б) ___

а) Найти координаты вектора $\vec{AB}$.

Координаты вектора находятся путем вычитания соответствующих координат его начала из координат его конца. Для вектора $\vec{AB}$ с началом в точке $A(x_A; y_A; z_A)$ и концом в точке $B(x_B; y_B; z_B)$ его координаты вычисляются по формуле:

$\vec{AB} = \{x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A\}$

Подставим координаты данных точек $A(5; -3; 2)$ и $B(0; 1; -2)$:

$\vec{AB} = \{0 - 5; 1 - (-3); -2 - 2\} = \{-5; 1 + 3; -4\} = \{-5; 4; -4\}$

Ответ: $\vec{AB}\{-5; 4; -4\}$.

б) Разложить по координатным векторам $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$ вектор $\vec{BC}$.

Сначала найдем координаты вектора $\vec{BC}$, используя координаты точек $B(0; 1; -2)$ и $C(2; -2; 0)$:

$\vec{BC} = \{x_C - x_B; y_C - y_B; z_C - z_B\}$

$\vec{BC} = \{2 - 0; -2 - 1; 0 - (-2)\} = \{2; -3; 2\}$

Разложение вектора с координатами $\{a; b; c\}$ по координатным векторам (ортам) $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$ имеет вид:

$\vec{v} = a\vec{i} + b\vec{j} + c\vec{k}$

Следовательно, для вектора $\vec{BC}\{2; -3; 2\}$ разложение будет следующим:

$\vec{BC} = 2\vec{i} + (-3)\vec{j} + 2\vec{k} = 2\vec{i} - 3\vec{j} + 2\vec{k}$

Ответ: $\vec{BC} = 2\vec{i} - 3\vec{j} + 2\vec{k}$.

115 Даны точки P(0; 1; -4), M(-2; -1; 0), E(3; 5; 0), C(-1; 0; -2), T(1; 3; 4).

а) Лежит ли точка C на прямой PM?

б) Лежит ли точка E на прямой CM?

в) Равны ли векторы $ \vec{PM} $ и $ \vec{EC} $?

г) Равны ли векторы $ \vec{PM} $ и $ \vec{ET} $?

Решение.

а) Если векторы $ \vec{PM} $ и $ \vec{MC} $ коллинеарны, то точки P, M и C __________ на одной прямой.

$ \vec{PM}\{-2 - 0; \_\_\_\_ ; \_\_\_\_ \}$, т. е. $ \vec{PM}\{ \_\_\_\_ ; \_\_\_\_ ; 4\} $. $ \vec{MC}\{ \_\_\_\_ ; 0 - (-1); \_\_\_\_ \}$, т. е. $ \vec{MC}\{ \_\_\_\_ \}. $

Так как $ \vec{PM} = \_\_\_\_ \vec{MC} $, то векторы $ \vec{PM} $ и $ \vec{MC} $ _________, следовательно, точки P, M и C _________ на одной прямой.

б) Выясним, являются ли коллинеарными ________ $ \vec{CM} $ и $ \vec{CE} $:

$ \vec{CM}\{ \_\_\_\_ ; \_\_\_\_ ; \_\_\_\_ \}$, $ \vec{CE}\{ \_\_\_\_ ; \_\_\_\_ ; \_\_\_\_ \}$, следовательно, векторы $ \vec{CM} $ и $ \vec{CE} $ ________. Значит, точки C, M и E ________ на одной прямой, иначе векторы $ \vec{CM} $ и $ \vec{CE} $ были бы _________.

в) Найдём координаты векторов $ \vec{PM} $ и $ \vec{EC} $: $ \vec{PM}\{-2; \_\_\_\_ ; \_\_\_\_ \}$, $ \vec{EC}\{ \_\_\_\_ ; \_\_\_\_ ; -2\} $. Следовательно, $ \vec{PM} $ ________ $ \vec{EC} $.

г) $ \vec{PM}\{ \_\_\_\_ ; \_\_\_\_ ; \_\_\_\_ \}$, $ \vec{ET}\{ \_\_\_\_ ; \_\_\_\_ ; \_\_\_\_ \}$, следовательно, $ \vec{PM} $ ________ $ \vec{ET} $.

Ответ.

а) Точка C ________ на прямой PM;

б) точка E ________ на прямой ________

в) $ \vec{PM} $ ________ $ \vec{EC} $;

г) $ \vec{PM} $ ________ $ \vec{ET} $.

а) Чтобы определить, лежит ли точка $C$ на прямой $PM$, необходимо проверить коллинеарность векторов $\vec{PM}$ и $\vec{MC}$. Если векторы коллинеарны, то точки лежат на одной прямой.
Найдем координаты векторов, используя координаты точек: $P(0; 1; -4)$, $M(-2; -1; 0)$, $C(-1; 0; -2)$.
Координаты вектора находятся вычитанием соответствующих координат начала вектора из координат его конца.
$\vec{PM} = \{x_M - x_P; y_M - y_P; z_M - z_P\} = \{-2 - 0; -1 - 1; 0 - (-4)\} = \{-2; -2; 4\}$.
$\vec{MC} = \{x_C - x_M; y_C - y_M; z_C - z_M\} = \{-1 - (-2); 0 - (-1); -2 - 0\} = \{1; 1; -2\}$.
Векторы коллинеарны, если существует такое число $k$, что $\vec{PM} = k \cdot \vec{MC}$. Проверим это, сравнив отношения их координат:
$\frac{-2}{1} = -2$; $\frac{-2}{1} = -2$; $\frac{4}{-2} = -2$.
Поскольку все отношения равны $-2$, то векторы коллинеарны ($\vec{PM} = -2 \vec{MC}$). Следовательно, точки $P$, $M$ и $C$ лежат на одной прямой.
Ответ: Да, точка C лежит на прямой PM.

б) Чтобы определить, лежит ли точка $E$ на прямой $CM$, необходимо проверить коллинеарность векторов $\vec{CM}$ и $\vec{CE}$.
Найдем координаты векторов, используя координаты точек: $C(-1; 0; -2)$, $M(-2; -1; 0)$, $E(3; 5; 0)$.
$\vec{CM} = \{x_M - x_C; y_M - y_C; z_M - z_C\} = \{-2 - (-1); -1 - 0; 0 - (-2)\} = \{-1; -1; 2\}$.
$\vec{CE} = \{x_E - x_C; y_E - y_C; z_E - z_C\} = \{3 - (-1); 5 - 0; 0 - (-2)\} = \{4; 5; 2\}$.
Проверим пропорциональность координат:
$\frac{4}{-1} = -4$; $\frac{5}{-1} = -5$.
Так как $-4 \neq -5$, координаты векторов не пропорциональны, следовательно, векторы $\vec{CM}$ и $\vec{CE}$ не коллинеарны. Значит, точки $C$, $M$ и $E$ не лежат на одной прямой.
Ответ: Нет, точка E не лежит на прямой CM.

в) Векторы равны, если их соответствующие координаты равны.
Координаты вектора $\vec{PM}$ из пункта (а): $\vec{PM} = \{-2; -2; 4\}$.
Найдем координаты вектора $\vec{EC}$, используя координаты точек $E(3; 5; 0)$ и $C(-1; 0; -2)$:
$\vec{EC} = \{x_C - x_E; y_C - y_E; z_C - z_E\} = \{-1 - 3; 0 - 5; -2 - 0\} = \{-4; -5; -2\}$.
Сравниваем координаты векторов:
$\vec{PM}\{-2; -2; 4\}$ и $\vec{EC}\{-4; -5; -2\}$.
Координаты не совпадают.
Ответ: Нет, векторы $\vec{PM}$ и $\vec{EC}$ не равны.

г) Сравним координаты векторов $\vec{PM}$ и $\vec{ET}$.
Координаты вектора $\vec{PM}$ из пункта (а): $\vec{PM} = \{-2; -2; 4\}$.
Найдем координаты вектора $\vec{ET}$, используя координаты точек $E(3; 5; 0)$ и $T(1; 3; 4)$:
$\vec{ET} = \{x_T - x_E; y_T - y_E; z_T - z_E\} = \{1 - 3; 3 - 5; 4 - 0\} = \{-2; -2; 4\}$.
Сравниваем координаты векторов:
$\vec{PM}\{-2; -2; 4\}$ и $\vec{ET}\{-2; -2; 4\}$.
Все соответствующие координаты равны.
Ответ: Да, векторы $\vec{PM}$ и $\vec{ET}$ равны.