Страница 65 - гдз по геометрии 11 класс рабочая тетрадь Бутузов, Глазков

Докажите свойство компланарных векторов:

Если векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$ компланарны, а векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ неколлинеарны, то вектор можно представить в виде

$\vec{c} = x\vec{a} + y\vec{b},$

причём коэффициенты $x$ и $y$ определяются единственным образом.

Доказательство.

Отложим от произвольной точки $O$ векторы: $\vec{OA} = \vec{a}$, $\vec{OB} = \vec{b}$ и $\vec{OC} = \vec{c}$. Так как векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$ __________, то векторы $\vec{OA}$, _________ и $\vec{OC}$ лежат в одной ___________ (обозначим её буквой $\alpha$). Поскольку $\vec{OA} = \vec{a}$ и $\vec{OB} = \_$, то векторы $\vec{OA}$ и _______ неколлинеарны. В каждой плоскости пространства справедливы все аксиомы и ___________ планиметрии.

Следовательно, в плоскости $\alpha$ выполняется теорема: любой вектор можно ___________________ по двум данным неколлинеарным ______________, причём коэффициенты разложения определяются единственным ______________.

Поэтому $\vec{OC} = x\vec{OA} + y \_$, т. е. $\vec{c} = \_ \vec{a} + y \_$, причём числа $x$ и _______ определяются ______________ образом, что и требовалось доказать.

Отложим от произвольной точки O векторы: $\vec{OA} = \vec{a}$, $\vec{OB} = \vec{b}$ и $\vec{OC} = \vec{c}$. Так как векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$ компланарны, то векторы $\vec{OA}$, $\vec{OB}$ и $\vec{OC}$ лежат в одной плоскости (обозначим её буквой $\alpha$). Поскольку $\vec{OA} = \vec{a}$ и $\vec{OB} = \vec{b}$, то векторы $\vec{OA}$ и $\vec{OB}$ неколлинеарны. В каждой плоскости пространства справедливы все аксиомы и теоремы планиметрии. Следовательно, в плоскости $\alpha$ выполняется теорема: любой вектор можно разложить по двум данным неколлинеарным векторам, причём коэффициенты разложения определяются единственным образом.

Поэтому $\vec{OC} = x \vec{OA} + y \vec{OB}$, т. е. $\vec{c} = x \vec{a} + y \vec{b}$, причём числа x и y определяются единственным образом, что и требовалось доказать.

Ответ: компланарны; $\vec{OB}$; плоскости; $\vec{OB}$; теоремы; разложить; векторам; образом; $\vec{OB}$; $x$; $\vec{b}$; y; единственным.

91 Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Докажите, что вектор $\overrightarrow{D_1B}$ можно единственным образом разложить по векторам $\overrightarrow{BA_1}$ и $\overrightarrow{BC}$. Найдите коэффициенты разложения.

Решение.

1) Прямые BC и A1D1

__________, поэтому точки $A_1$, $B$, $C$ и __________ лежат в __________ плоскости, а значит, векторы $\overrightarrow{BA_1}$, __________ и $\overrightarrow{D_1B}$ компланарны. Кроме того, векторы $\overrightarrow{BA_1}$ и $\overrightarrow{BC}$ не __________.

Следовательно, вектор $\overrightarrow{D_1B}$ __________ разложить по векторам $\overrightarrow{BA_1}$ и __________, причём коэффициенты разложения определяются __________ образом.

2) В кубе рёбра BC и A1D1 равны и

но, четырёхугольник $A_1BCD_1$ является __________.

Поэтому $\overrightarrow{BD_1} = \overrightarrow{BA_1} + \text{__________}$ (правило __________).

Отсюда получаем $\overrightarrow{D_1B} = -\overrightarrow{BD_1} = (\text{_______}) \overrightarrow{BA_1} + (\text{_______}) \overrightarrow{BC}$, т. е. коэффициенты разложения равны -1 и __________.

Ответ.

__________ разложения равны __________ и __________.

1) Докажем, что вектор $\vec{D_1B}$ можно единственным образом разложить по векторам $\vec{BA_1}$ и $\vec{BC}$. Для этого нужно показать, что векторы $\vec{D_1B}$, $\vec{BA_1}$ и $\vec{BC}$ компланарны, а векторы $\vec{BA_1}$ и $\vec{BC}$ не коллинеарны.

В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ противоположные грани $BCC_1B_1$ и $ADD_1A_1$ параллельны, поэтому ребро $BC$ параллельно ребру $AD$. Также ребро $AD$ параллельно ребру $A_1D_1$. Следовательно, по свойству транзитивности, прямая $BC$ параллельна прямой $A_1D_1$.

Поскольку прямые $BC$ и $A_1D_1$ параллельны, через них можно провести единственную плоскость. Это означает, что точки $A_1, B, C, D_1$ лежат в одной плоскости. Соответственно, векторы $\vec{D_1B}$, $\vec{BA_1}$ и $\vec{BC}$, концы и начала которых лежат в этой плоскости, являются компланарными.

Векторы $\vec{BA_1}$ и $\vec{BC}$ не коллинеарны, так как они выходят из одной точки $B$ и направлены вдоль диагонали грани $ABB_1A_1$ и ребра $BC$, которые не лежат на одной прямой.

Согласно теореме о разложении вектора по двум неколлинеарным векторам, любой вектор, компланарный им, можно разложить по этим двум векторам, причём коэффициенты разложения определяются единственным образом. Таким образом, доказано, что вектор $\vec{D_1B}$ можно единственным образом разложить по векторам $\vec{BA_1}$ и $\vec{BC}$.

2) Найдём коэффициенты разложения. В кубе рёбра $BC$ и $A_1D_1$ не только параллельны, но и равны по длине. Четырёхугольник $A_1BCD_1$, у которого две противоположные стороны равны и параллельны, является параллелограммом.

По правилу параллелограмма для сложения векторов, выходящих из одной вершины, вектор диагонали равен сумме векторов смежных сторон. Для вершины $B$ параллелограмма $A_1BCD_1$ это правило записывается так:
$\vec{BD_1} = \vec{BA_1} + \vec{BC}$

Вектор $\vec{D_1B}$ является противоположным вектору $\vec{BD_1}$, поэтому $\vec{D_1B} = -\vec{BD_1}$.
Подставим выражение для $\vec{BD_1}$ в это равенство:
$\vec{D_1B} = -(\vec{BA_1} + \vec{BC}) = (-1)\vec{BA_1} + (-1)\vec{BC}$

Отсюда следует, что коэффициенты разложения вектора $\vec{D_1B}$ по векторам $\vec{BA_1}$ и $\vec{BC}$ равны -1 и -1.

Ответ: коэффициенты разложения равны -1 и -1.