Номер 90, страница 65 - гдз по геометрии 11 класс рабочая тетрадь Бутузов, Глазков

6.3. Компланарные векторы - номер 90, страница 65.

Докажите свойство компланарных векторов:

Если векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$ компланарны, а векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ неколлинеарны, то вектор можно представить в виде

$\vec{c} = x\vec{a} + y\vec{b},$

причём коэффициенты $x$ и $y$ определяются единственным образом.

Доказательство.

Отложим от произвольной точки $O$ векторы: $\vec{OA} = \vec{a}$, $\vec{OB} = \vec{b}$ и $\vec{OC} = \vec{c}$. Так как векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$ __________, то векторы $\vec{OA}$, _________ и $\vec{OC}$ лежат в одной ___________ (обозначим её буквой $\alpha$). Поскольку $\vec{OA} = \vec{a}$ и $\vec{OB} = \_$, то векторы $\vec{OA}$ и _______ неколлинеарны. В каждой плоскости пространства справедливы все аксиомы и ___________ планиметрии.

Следовательно, в плоскости $\alpha$ выполняется теорема: любой вектор можно ___________________ по двум данным неколлинеарным ______________, причём коэффициенты разложения определяются единственным ______________.

Поэтому $\vec{OC} = x\vec{OA} + y \_$, т. е. $\vec{c} = \_ \vec{a} + y \_$, причём числа $x$ и _______ определяются ______________ образом, что и требовалось доказать.

Доказательство.

Отложим от произвольной точки O векторы: $\vec{OA} = \vec{a}$, $\vec{OB} = \vec{b}$ и $\vec{OC} = \vec{c}$. Так как векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$ компланарны, то векторы $\vec{OA}$, $\vec{OB}$ и $\vec{OC}$ лежат в одной плоскости (обозначим её буквой $\alpha$). Поскольку $\vec{OA} = \vec{a}$ и $\vec{OB} = \vec{b}$, то векторы $\vec{OA}$ и $\vec{OB}$ неколлинеарны. В каждой плоскости пространства справедливы все аксиомы и теоремы планиметрии. Следовательно, в плоскости $\alpha$ выполняется теорема: любой вектор можно разложить по двум данным неколлинеарным векторам, причём коэффициенты разложения определяются единственным образом.

Поэтому $\vec{OC} = x \vec{OA} + y \vec{OB}$, т. е. $\vec{c} = x \vec{a} + y \vec{b}$, причём числа x и y определяются единственным образом, что и требовалось доказать.

Ответ: компланарны; $\vec{OB}$; плоскости; $\vec{OB}$; теоремы; разложить; векторам; образом; $\vec{OB}$; $x$; $\vec{b}$; y; единственным.