Номер 94, страница 67 - гдз по геометрии 11 класс рабочая тетрадь Бутузов, Глазков

6.3. Компланарные векторы - номер 94, страница 67.

94 Точка $M$ — середина ребра $AA_1$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

а) Выразите вектор $\vec{CM}$ через векторы $\vec{a} = \vec{BA}$, $\vec{b} = \vec{BB_1}$, $\vec{c} = \vec{BC}$.

б) Найдите длину вектора $\vec{CM}$, если $AB = 3$, $BC = 4$, $BB_1 = 24$.

Решение.

а) По правилу

$\vec{CM} = \vec{CA} + \underline{\hspace{2em}}$. Так как $\vec{BC} + \underline{\hspace{2em}} + \vec{CA} = \underline{\hspace{2em}}$, то $\vec{CA} = \vec{BA} - \underline{\hspace{2em}} = \vec{a} - \underline{\hspace{2em}}$, а так как точка $M$ — середина ребра $\underline{\hspace{2em}}$, то $\vec{AM} = \frac{1}{2}\underline{\hspace{2em}} = \vec{BB_1} = \vec{b}$.

Итак, $\vec{CM} = \vec{a} - \underline{\hspace{2em}} + \underline{\hspace{2em}}$

б) В прямоугольном $\underline{\hspace{2em}}$

$ABCDA_1B_1C_1D_1$

$AA_1 \perp ABC$, следовательно, $AA_1 \perp AC$. В прямоугольном треугольнике $ACM$

$CM^2 = AC^2 + \underline{\hspace{2em}}$, но $AC^2 = AB^2 + \underline{\hspace{2em}} = 3^2 + \underline{\hspace{2em}} = \underline{\hspace{2em}}$, $AM = \frac{1}{2}\underline{\hspace{2em}} = \underline{\hspace{2em}}$

Итак, $CM^2 = \underline{\hspace{2em}} + \underline{\hspace{2em}}$, т. е. $|\vec{CM}| = \sqrt{\underline{\hspace{2em}}} = \underline{\hspace{2em}}$

Ответ.

а) $CM = \underline{\hspace{2em}}$

б) $|\vec{CM}| = \underline{\hspace{2em}}$

а) Чтобы выразить вектор $\vec{CM}$ через заданные векторы, воспользуемся правилом сложения векторов для треугольника. Представим вектор $\vec{CM}$ как сумму двух векторов: $\vec{CM} = \vec{CA} + \vec{AM}$.

Теперь необходимо выразить векторы $\vec{CA}$ и $\vec{AM}$ через $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$.

Из треугольника $ABC$ по правилу сложения векторов имеем: $\vec{BC} + \vec{CA} = \vec{BA}$. Выразим отсюда $\vec{CA}$: $\vec{CA} = \vec{BA} - \vec{BC}$. Согласно условию, $\vec{BA} = \vec{a}$ и $\vec{BC} = \vec{c}$, следовательно: $\vec{CA} = \vec{a} - \vec{c}$.

Точка $M$ — середина ребра $AA_1$. Значит, вектор $\vec{AM}$ равен половине вектора $\vec{AA_1}$: $\vec{AM} = \frac{1}{2}\vec{AA_1}$. В параллелепипеде противоположные ребра равны и параллельны, поэтому $\vec{AA_1} = \vec{BB_1}$. По условию $\vec{BB_1} = \vec{b}$, значит: $\vec{AM} = \frac{1}{2}\vec{b}$.

Подставим полученные выражения для $\vec{CA}$ и $\vec{AM}$ в исходную формулу: $\vec{CM} = (\vec{a} - \vec{c}) + \frac{1}{2}\vec{b} = \vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b} - \vec{c}$.

Ответ: $\vec{CM} = \vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b} - \vec{c}$.

б) Длина вектора $|\vec{CM}|$ равна длине отрезка $CM$. Найдем ее, используя теорему Пифагора.

Поскольку $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — прямоугольный параллелепипед, его боковое ребро $AA_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$. Следовательно, ребро $AA_1$ перпендикулярно любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и диагонали $AC$. Таким образом, треугольник $ACM$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $A$.

По теореме Пифагора для треугольника $ACM$ имеем: $CM^2 = AC^2 + AM^2$.

Сначала найдем длину катета $AC$. Основание $ABCD$ — прямоугольник, поэтому треугольник $ABC$ — прямоугольный (угол $B = 90^\circ$). По теореме Пифагора: $AC^2 = AB^2 + BC^2$. Подставим длины сторон из условия: $AB = 3$, $BC = 4$. $AC^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$.

Теперь найдем длину катета $AM$. Точка $M$ — середина ребра $AA_1$, а длина ребра $AA_1$ равна длине $BB_1$, то есть $AA_1 = 24$. $AM = \frac{1}{2}AA_1 = \frac{1}{2} \cdot 24 = 12$.

Подставим найденные значения $AC^2$ и $AM$ в формулу для $CM^2$: $CM^2 = 25 + 12^2 = 25 + 144 = 169$.

Длина вектора $\vec{CM}$ равна корню квадратному из $CM^2$: $|\vec{CM}| = \sqrt{169} = 13$.

Ответ: 13.